东南大学 2021年数学分析第14题
📝 题目
14．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上至少有两个零点．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用第一个积分条件证明至少有一个零点
由 $\int_0^1 f(x) \, dx = 0$ 可知，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上不可能恒正或恒负，否则积分值不为零。因此 $f(x)$ 在区间内必然变号。由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，由介值定理，存在 $c \in (0,1)$ 使得 $f(c)=0$。
公式：\int_0^1 f(x) \, dx = 0 \Rightarrow \exists c \in (0,1), f(c)=0
提示：注意连续函数变号后由介值定理保证存在零点，但零点可能在端点吗？这里积分区间为闭区间，但由积分中值定理的推广，零点通常在内点取得。
步骤 2/5
目标：假设只有一个零点，并引入辅助函数
假设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上只有一个零点，记为 $x_0$。由于 $\int_0^1 f(x) \, dx = 0$，$f(x)$ 在 $x_0$ 两侧必然异号。不妨设在 $[0,x_0)$ 上 $f(x) > 0$，在 $(x_0,1]$ 上 $f(x) < 0$。构造辅助函数 $g(x) = (x - x_0) f(x)$。
公式：g(x) = (x - x_0) f(x)
提示：符号假设可以反过来，不影响证明本质。注意零点唯一性假设是反证法的关键。
步骤 3/5
目标：分析辅助函数的符号并推导积分不等式
当 $x < x_0$ 时，$x - x_0 < 0$，$f(x) > 0$，故 $g(x) < 0$；当 $x > x_0$ 时，$x - x_0 > 0$，$f(x) < 0$，故 $g(x) < 0$。且 $g(x)$ 不恒为零（除 $x_0$ 外处处为负）。因此 $\int_0^1 g(x) \, dx < 0$。
公式：\int_0^1 (x - x_0) f(x) \, dx < 0
提示：注意连续函数在区间上非正且不恒为零时，积分严格小于零。
步骤 4/5
目标：利用已知积分条件计算同一积分，导出矛盾
由已知条件：$\int_0^1 x f(x) \, dx = 0$，$\int_0^1 f(x) \, dx = 0$，计算得：
\[
\int_0^1 (x - x_0) f(x) \, dx = \int_0^1 x f(x) \, dx - x_0 \int_0^1 f(x) \, dx = 0 - x_0 \cdot 0 = 0.
\]
这与上一步得到的 $\int_0^1 (x - x_0) f(x) \, dx < 0$ 矛盾。
公式：\int_0^1 (x - x_0) f(x) \, dx = 0
提示：这里 $x_0$ 是常数，可以直接提出积分号外。
步骤 5/5
目标：得出结论
反证法假设不成立，因此 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上不可能只有一个零点，即至少有两个不同的零点。
提示：注意“至少两个”包括可能更多个零点的情况，但题目只要求证明至少两个。
步骤 6/7
目标：导出矛盾
由于 $g(x)f(x)$ 不变号且不恒为零，其积分 $\int_0^1 g(x)f(x)\,dx \neq 0$，与第4步中积分等于0矛盾。
提示：连续函数若恒非负且不恒为零，则积分大于0。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此假设不成立，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上至少有两个零点。
提示：反证法完成。
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