东南大学 2023年数学分析第11题
📝 题目
11．设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 有界，$\displaystyle \left\{x_{2 n}+2 x_{n}\right\}$ 收敛，证明 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定极限值
设 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} (x_{2n} + 2x_n) = A$，由条件该极限存在。
公式：$\displaystyle \lim_{n\to\infty} (x_{2n} + 2x_n) = A$
提示：注意极限A是已知存在的，但具体数值未知。
步骤 2/6
目标：建立子列递推关系
由条件，当 $n\to\infty$ 时，有 $x_{2n} + 2x_n \to A$。将 $n$ 替换为 $2n$，得 $x_{4n} + 2x_{2n} \to A$。继续替换可得 $x_{8n} + 2x_{4n} \to A$，以此类推。
公式：$x_{2n} + 2x_n \to A$，$x_{4n} + 2x_{2n} \to A$，$x_{8n} + 2x_{4n} \to A$
提示：利用下标替换是处理子列问题的常用技巧。
步骤 3/6
目标：消去中间项，得到 $x_{4n}$ 与 $x_n$ 的关系
由 $x_{2n} = A - 2x_n + \varepsilon_n$，其中 $\varepsilon_n \to 0$。代入 $x_{4n} + 2x_{2n} \to A$，得 $x_{4n} + 2(A - 2x_n + \varepsilon_n) \to A$，整理得 $x_{4n} - 4x_n \to -A$，即 $x_{4n} = 4x_n - A + \delta_n$，$\delta_n \to 0$。
公式：$x_{4n} = 4x_n - A + o(1)$
提示：注意无穷小量的处理，保持严谨。
步骤 4/6
目标：迭代得到一般形式
重复迭代过程，可得 $x_{2^k n} = c_k A + (-2)^k x_n + o(1)$，其中系数 $c_k$ 满足递推 $c_1=1$，$c_{k+1}=1-2c_k$。解此递推得 $c_k = \frac{1 - (-2)^k}{3}$。因此 $x_{2^k n} = \frac{A}{3} + (-2)^k \left(x_n - \frac{A}{3}\right) + o(1)$。
公式：$x_{2^k n} = \frac{A}{3} + (-2)^k \left(x_n - \frac{A}{3}\right) + o(1)$
提示：递推关系的求解是核心步骤，注意齐次解和特解的求法。
步骤 5/6
目标：利用有界性确定 $x_n$ 必须为常数
由于 $\{x_n\}$ 有界，固定 $n$，令 $k\to\infty$。若 $x_n \neq \frac{A}{3}$，则 $(-2)^k$ 项会使 $x_{2^k n}$ 无界（当 $k$ 为偶数时趋向正无穷，奇数时趋向负无穷），与有界矛盾。故对任意 $n$，必有 $x_n = \frac{A}{3}$。
公式：由有界性推出 $x_n - \frac{A}{3} = 0$
提示：这是证明的关键：利用有界性迫使振荡项系数为零。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此数列 $\{x_n\}$ 为常数列 $\frac{A}{3}$，显然收敛，且极限为 $\frac{A}{3}$。
公式：$\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n = \frac{A}{3}$
提示：最终极限由条件中的极限A唯一确定。
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