📝 东南大学 2023年数学分析真题

8．设 $\displaystyle a>0$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt[n]{a}-\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right)$
的敛散性．

9．设 $\displaystyle \alpha>0$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{\alpha} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$上的一致收敛性．

10．设 $\displaystyle I(y)=\int_{1}^{\infty} \frac{\cos x y}{x^{y}} \mathrm{~d} x$ ．
（1）讨论 $\displaystyle I(y)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致收敛性．
（2）讨论 $\displaystyle I(y)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的连续性．

11．设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 有界，$\displaystyle \left\{x_{2 n}+2 x_{n}\right\}$ 收敛，证明 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限。

12．$\displaystyle f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ 单调，证明：$f$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．

13．$f$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，下凸，且无极值点，证明：$f$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上单调．

14．设 $\displaystyle P(x, y)$ 和 $\displaystyle Q(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上具有连续的偏导数，且对任意 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2}$ ，以及任意 $\displaystyle r>0$ ，总有

$$
\int_{L} P \mathrm{~d} x+C C^{9} y=0
$$

其中 $L$ 是以 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为心，$\displaystyle r>0$ 为半径的上半圆周，方向是逆时针．证明：在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上， $\displaystyle P(x, y) \equiv 0, \frac{\partial Q}{\partial x} \equiv 0$.

15．利用聚点定理证明闭区间上连续函数的有界性定理。