东南大学 2023年数学分析第15题
📝 题目
15．利用聚点定理证明闭区间上连续函数的有界性定理。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：反证法假设：假设函数在闭区间上无界，构造点列
假设函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续但无界。则对任意正整数 \( n \)，存在 \( x_n \in [a, b] \)，使得 \( |f(x_n)| > n \)。由此构造出数列 \( \{x_n\} \subseteq [a, b] \)。
公式：|f(x_n)| > n, \quad \forall n \in \mathbb{N}^+
提示：注意：无界的定义是对于任意大的正数，都能找到函数值超过它，这里取正整数 n 是为了构造数列。
步骤 2/4
目标：应用聚点定理：从有界数列中提取收敛子列
由于 \([a, b]\) 是有界闭区间，数列 \( \{x_n\} \) 有界。根据聚点定理（波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理），有界数列必有收敛子列。设存在子列 \( \{x_{n_k}\} \) 收敛于某点 \( x_0 \)。因为 \([a, b]\) 是闭区间，极限点 \( x_0 \) 必属于 \([a, b]\)。
公式：\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = x_0 \in [a, b]
提示：聚点定理保证子列存在，闭区间保证极限点仍在区间内，这是后续使用连续性的前提。
步骤 3/4
目标：利用连续性导出矛盾
因为 \( f \) 在 \( x_0 \) 处连续，所以 \( \lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f(x_0) \)，即函数值子列收敛到有限数。但由构造方式，\( |f(x_{n_k})| > n_k \to \infty \)，说明 \( \{f(x_{n_k})\} \) 无界，不可能收敛到有限值。矛盾。
公式：\lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f(x_0) \quad \text{与} \quad |f(x_{n_k})| > n_k \to \infty
提示：连续性给出收敛性，而构造给出发散性，两者矛盾，这是反证法的核心。
步骤 4/4
目标：得出结论：原假设不成立，函数有界
由于反证法假设导致矛盾，因此假设错误。故函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a, b]\) 上必有界。
公式：\exists M > 0, \ \forall x \in [a, b], \ |f(x)| \leq M
提示：结论是有界性定理成立，注意这里只证明了有界性，未涉及最值。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，假设不成立，函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上必须有界。这就完成了闭区间上连续函数有界性定理的证明。
公式：结论：$\exists M > 0, \forall x \in [a,b], |f(x)| \leq M$
提示：反证法成功，原命题得证。
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