东南大学 2023年数学分析第14题

题目中积分表达式应为 $\int_L P \,dx + Q \,dy = 0$，其中 $L$ 是以 $(x_0, y_0)$ 为圆心、$r>0$ 为半径的上半圆周，方向为逆时针。已知 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上具有连续的偏导数，且该积分对任意 $(x_0, y_0)$ 和任意 $r>0$ 均成立。

取上半圆周的参数方程：$x = x_0 + r\cos\theta$, $y = y_0 + r\sin\theta$，其中 $\theta$ 从 $0$ 到 $\pi$（逆时针方向）。则 $dx = -r\sin\theta \,d\theta$, $dy = r\cos\theta \,d\theta$。代入积分得： $$\int_0^\pi \left[ P(x_0+r\cos\theta, y_0+r\sin\theta)(-r\sin\theta) + Q(x_0+r\cos\theta, y_0+r\sin\theta)(r\cos\theta) \right] d\theta = 0$$

将积分除以 $r$ 并令 $r \to 0$，利用 $P,Q$ 的连续性，被积函数趋于 $-P(x_0,y_0)\sin\theta + Q(x_0,y_0)\cos\theta$。计算积分： $$\int_0^\pi \sin\theta \,d\theta = 2, \quad \int_0^\pi \cos\theta \,d\theta = 0$$ 因此极限值为 $-2P(x_0,y_0)$。由于原积分恒为零，除以 $r$ 后极限也为零，故 $-2P(x_0,y_0)=0$，即 $P(x_0,y_0)=0$。由 $(x_0,y_0)$ 的任意性得 $P \equiv 0$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上。

由于 $P \equiv 0$，原积分条件简化为 $\int_L Q \,dy = 0$ 对所有上半圆周成立。代入参数形式得： $$\int_0^\pi Q(x_0+r\cos\theta, y_0+r\sin\theta) \cdot r\cos\theta \,d\theta = 0$$

固定 $(x_0,y_0)$，将 $Q$ 在 $(x_0,y_0)$ 处泰勒展开： $$Q(x_0+r\cos\theta, y_0+r\sin\theta) = Q(x_0,y_0) + Q_x(x_0,y_0) r\cos\theta + Q_y(x_0,y_0) r\sin\theta + o(r)$$ 代入积分得： $$\int_0^\pi \left[ Q(x_0,y_0) r\cos\theta + Q_x(x_0,y_0) r^2\cos^2\theta + Q_y(x_0,y_0) r^2\sin\theta\cos\theta + o(r^2) \right] d\theta = 0$$ 计算各积分：$\int_0^\pi \cos\theta \,d\theta = 0$, $\int_0^\pi \cos^2\theta \,d\theta = \pi/2$, $\int_0^\pi \sin\theta\cos\theta \,d\theta = 0$。因此得到： $$Q_x(x_0,y_0) \cdot \frac{\pi}{2} r^2 + o(r^2) = 0$$ 除以 $r^2$ 并令 $r \to 0$，得 $\frac{\pi}{2} Q_x(x_0,y_0) = 0$，即 $Q_x(x_0,y_0)=0$。由 $(x_0,y_0)$ 的任意性得 $\frac{\partial Q}{\partial x} \equiv 0$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上。

已证明：在 $\mathbb{R}^2$ 上，$P(x,y) \equiv 0$，且 $\frac{\partial Q}{\partial x} \equiv 0$。

综合以上步骤，我们证明了在 $\mathbb{R}^2$ 上 $P(x,y) \equiv 0$ 且 $\frac{\partial Q}{\partial x} \equiv 0$。