东南大学 2023年数学分析第10题
📝 题目
10．设 $\displaystyle I(y)=\int_{1}^{\infty} \frac{\cos x y}{x^{y}} \mathrm{~d} x$ ．
（1）讨论 $\displaystyle I(y)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致收敛性．
（2）讨论 $\displaystyle I(y)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的连续性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析被积函数在无穷远处的行为，判断一致收敛的可能性
考虑含参量积分 $I(y)=\int_{1}^{\infty} \frac{\cos(xy)}{x^{y}} \, dx$，其中 $y>0$。对于固定的 $y>0$，当 $x\to\infty$ 时，分母 $x^y$ 增长，分子 $\cos(xy)$ 有界，因此积分是收敛的。但一致收敛性需要考察是否对所有 $y\in(0,+\infty)$ 存在统一的控制函数。
公式：$\left|\frac{\cos(xy)}{x^{y}}\right| \le \frac{1}{x^{y}}$
提示：注意 $y$ 趋近于 $0$ 时，$1/x^y$ 衰减很慢，可能导致不一致收敛。
步骤 2/8
目标：用 Weierstrass M-判别法检验一致收敛性
若存在与 $y$ 无关的可积控制函数，则一致收敛。但 $\left|\frac{\cos(xy)}{x^{y}}\right| \le \frac{1}{x^{y}}$，当 $y\to 0^+$ 时，$\int_1^\infty \frac{1}{x^y} dx$ 发散（因为 $\frac{1}{x^y}$ 接近常数 $1$）。因此在整个 $(0,+\infty)$ 上无法找到统一的控制函数，Weierstrass 判别法失效。
公式：$\int_1^\infty \frac{1}{x^y} dx = \begin{cases} \frac{1}{y-1}, & y>1 \\ \text{发散}, & 0
提示：当 $y$ 很小时，积分尾部无法一致地小，这是不一致收敛的关键。
步骤 3/8
目标：严格证明不一致收敛
取 $y_n = \frac{1}{n}$，则 $y_n\to 0^+$。考虑积分尾部：对任意大的 $A>1$，有 $\int_A^\infty \frac{\cos(xy_n)}{x^{y_n}} dx$ 的绝对值下界可通过取 $\cos(xy_n)\ge \frac12$ 的区间估计。实际上，由于 $\int_A^\infty \frac{1}{x^{y_n}} dx$ 当 $n\to\infty$ 时趋于无穷，且 $\cos(xy_n)$ 的振荡不改变发散性，因此存在 $\epsilon_0>0$ 使得对任意 $N$，存在 $y_n$ 和 $A>N$ 使尾部积分绝对值大于 $\epsilon_0$，故不一致收敛。
公式：$\lim_{y\to 0^+} \int_1^\infty \frac{1}{x^y} dx = +\infty$
提示：不一致收敛的严格证明需要构造反例序列，利用积分发散性。
步骤 4/8
目标：总结第一问结论
由上述分析，$I(y)$ 在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛。
提示：注意：不一致收敛并不意味着不连续，连续性需要进一步分析。
步骤 5/8
目标：分析连续性，考虑任意闭子区间
要讨论 $I(y)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的连续性，需利用含参量积分连续性定理：若被积函数连续且积分在区间上一致收敛，则积分函数连续。由于整个区间不一致收敛，我们考虑任意闭区间 $[\delta, M]$，其中 $\delta>0$。
提示：连续性可以在每个闭子区间上分别证明，从而得到整体连续性。
步骤 6/8
目标：用 Dirichlet 判别法证明在 $[\delta, +\infty)$ 上一致收敛
对于 $y\ge \delta>0$，令 $g(x,y)=\frac{1}{x^y}$，则 $g(x,y)$ 关于 $x$ 单调递减趋于 $0$，且对 $y$ 一致（因为 $\frac{1}{x^y} \le \frac{1}{x^\delta}$）。考虑 $\int_1^A \cos(xy) dx = \frac{\sin(Ay)-\sin y}{y}$，其绝对值 $\le \frac{2}{\delta}$，对 $A$ 一致有界。由 Dirichlet 判别法，积分 $\int_1^\infty \frac{\cos(xy)}{x^y} dx$ 在 $y\ge \delta$ 上一致收敛。
公式：$\left|\int_1^A \cos(xy) dx\right| \le \frac{2}{\delta}$
提示：Dirichlet 判别法适用于振荡因子乘以单调趋于零的函数，注意 $y$ 的下界 $\delta>0$ 保证了有界性。
步骤 7/8
目标：应用连续性定理得到每点连续
被积函数 $f(x,y)=\frac{\cos(xy)}{x^y}$ 在 $[1,\infty)\times(0,\infty)$ 上连续，且对任意 $\delta>0$，积分在 $[\delta,+\infty)$ 上一致收敛。因此 $I(y)$ 在 $[\delta,+\infty)$ 上连续。由于 $\delta$ 可任意小，故 $I(y)$ 在 $(0,+\infty)$ 上每一点都连续。
提示：注意：$y=0$ 不在定义域内，所以只需考虑 $y>0$ 的连续性。
步骤 8/8
目标：总结第二问结论
因此，$I(y)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续。
提示：一致收敛是连续性的充分条件，但非必要条件；这里通过局部一致收敛得到整体连续。
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