东南大学 2023年数学分析第9题
📝 题目
9．设 $\displaystyle \alpha>0$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{\alpha} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$上的一致收敛性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确问题与函数项级数形式
我们考虑函数项级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)\)，其中 \(f_n(x) = x^{\alpha} e^{-n x}\)，定义域为 \(x \in (0, +\infty)\)，参数 \(\alpha > 0\)。需要讨论该级数在 \((0, +\infty)\) 上是否一致收敛。一致收敛要求：对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在与 \(x\) 无关的 \(N\)，使得当 \(n \geq N\) 时，对所有 \(x>0\) 有余项 \(|R_N(x)| < \varepsilon\)。
公式：\displaystyle f_n(x) = x^{\alpha} e^{-n x}
提示：注意定义域是开区间 \((0, +\infty)\)，需要特别关注 \(x \to 0^+\) 和 \(x \to +\infty\) 的边界行为。
步骤 2/8
目标：写出余项表达式并化简
由于级数是等比级数（公比 \(e^{-x}\)），余项可求和：
\[
R_N(x) = \sum_{n=N+1}^{\infty} x^{\alpha} e^{-n x} = x^{\alpha} e^{-(N+1)x} \cdot \frac{1}{1 - e^{-x}}.
\]
一致收敛性等价于 \(\displaystyle \sup_{x>0} |R_N(x)| \to 0\) 当 \(N \to \infty\)。
公式：\displaystyle R_N(x) = \frac{x^{\alpha} e^{-(N+1)x}}{1 - e^{-x}}
提示：余项表达式是精确的，没有近似，后续分析中要小心 \(x \to 0^+\) 时 \(1-e^{-x} \sim x\) 的渐近行为。
步骤 3/8
目标：分析 x → +∞ 时的行为
当 \(x \to +\infty\) 时，\(e^{-x} \to 0\)，因此 \(1 - e^{-x} \to 1\)，且 \(e^{-(N+1)x}\) 指数衰减。于是 \(R_N(x) \sim x^{\alpha} e^{-(N+1)x} \to 0\)，衰减速度很快，不会影响一致收敛性。
公式：\displaystyle \lim_{x \to +\infty} R_N(x) = 0
提示：大 \(x\) 区域总是安全的，关键是小 \(x\) 区域。
步骤 4/8
目标：分析 x → 0⁺ 时的渐近行为
当 \(x \to 0^+\) 时，\(1 - e^{-x} \sim x\)，因此
\[
R_N(x) \sim x^{\alpha} e^{-(N+1)x} \cdot \frac{1}{x} = x^{\alpha-1} e^{-(N+1)x}.
\]
令 \(t = (N+1)x\)，则 \(x = t/(N+1)\)，代入得
\[
R_N(x) \sim \frac{t^{\alpha-1}}{(N+1)^{\alpha-1}} e^{-t}.
\]
因此，\(\sup_{x>0} R_N(x)\) 的渐近行为由 \(\frac{1}{(N+1)^{\alpha-1}}\) 乘以一个有界函数（\(t^{\alpha-1}e^{-t}\) 在 \(t>0\) 上的最大值）决定。
公式：\displaystyle R_N(x) \sim x^{\alpha-1} e^{-(N+1)x} = \frac{t^{\alpha-1}}{(N+1)^{\alpha-1}} e^{-t}
提示：这里 \(\alpha-1\) 的符号至关重要，它决定了 \(x \to 0^+\) 时 \(R_N(x)\) 是趋于0还是趋于无穷。
步骤 5/8
目标：分情况讨论 α > 1
当 \(\alpha > 1\) 时，\(\alpha-1 > 0\)，则 \(\frac{1}{(N+1)^{\alpha-1}} \to 0\)。函数 \(t^{\alpha-1} e^{-t}\) 在 \(t>0\) 上有最大值 \(M = \left(\frac{\alpha-1}{e}\right)^{\alpha-1}\)（通过求导得到）。因此
\[
\sup_{x>0} |R_N(x)| \leq \frac{M}{(N+1)^{\alpha-1}} \to 0 \quad (N \to \infty).
\]
故级数一致收敛。
公式：\displaystyle \sup_{x>0} |R_N(x)| \leq \frac{C}{(N+1)^{\alpha-1}} \to 0
提示：注意 \(\alpha>1\) 时，\(x^{\alpha-1}\) 在 \(x=0\) 处趋于0，这是关键。
步骤 6/8
目标：分情况讨论 α = 1
当 \(\alpha = 1\) 时，\(R_N(x) = \frac{x e^{-(N+1)x}}{1 - e^{-x}}\)。取 \(x = \frac{1}{N+1}\)，则
\[
R_N\left(\frac{1}{N+1}\right) = \frac{\frac{1}{N+1} e^{-1}}{1 - e^{-1/(N+1)}}.
\]
当 \(N \to \infty\)，分母 \(1 - e^{-1/(N+1)} \sim \frac{1}{N+1}\)，因此
\[
R_N\left(\frac{1}{N+1}\right) \sim \frac{\frac{1}{N+1} e^{-1}}{\frac{1}{N+1}} = e^{-1} \not\to 0.
\]
故 \(\sup_{x>0} |R_N(x)| \geq e^{-1} > 0\)，不一致收敛。
公式：\displaystyle R_N\left(\frac{1}{N+1}\right) \sim e^{-1} \neq 0
提示：取特殊点 \(x=1/(N+1)\) 是证明不一致收敛的常用技巧。
步骤 7/8
目标：分情况讨论 0 < α < 1
当 \(0 < \alpha < 1\) 时，\(\alpha-1 < 0\)。仍取 \(x = \frac{1}{N+1}\)，则
\[
R_N\left(\frac{1}{N+1}\right) \sim \left(\frac{1}{N+1}\right)^{\alpha-1} e^{-1} = (N+1)^{1-\alpha} e^{-1} \to +\infty \quad (N \to \infty).
\]
因此 \(\sup_{x>0} |R_N(x)| \to +\infty\)，更不可能一致收敛。
公式：\displaystyle R_N\left(\frac{1}{N+1}\right) \sim (N+1)^{1-\alpha} e^{-1} \to +\infty
提示：当 \(\alpha<1\) 时，\(x^{\alpha-1}\) 在 \(x=0\) 处无界，导致余项在0附近爆炸。
步骤 8/8
目标：综合结论
综合以上分析：
- 当 \(\alpha > 1\) 时，级数在 \((0, +\infty)\) 上一致收敛；
- 当 \(0 < \alpha \leq 1\) 时，级数在 \((0, +\infty)\) 上不一致收敛。
公式：\displaystyle \text{一致收敛} \iff \alpha > 1
提示：注意边界 \(\alpha=1\) 属于不一致收敛的情况，不要遗漏。
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