东南大学 2023年数学分析第8题
📝 题目
8．设 $\displaystyle a>0$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt[n]{a}-\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right)$
的敛散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分别分析两项的渐近行为
当 $n \to \infty$ 时，第一项 $\sqrt[n]{a} = a^{1/n} = e^{\frac{\ln a}{n}}$ 可用泰勒展开：$e^{\frac{\ln a}{n}} = 1 + \frac{\ln a}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$。第二项 $\sqrt{1+\frac{1}{n}} = (1+\frac{1}{n})^{1/2}$ 展开为：$1 + \frac{1}{2n} - \frac{1}{8n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)$。
公式：$\sqrt[n]{a} = 1 + \frac{\ln a}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$，$\sqrt{1+\frac{1}{n}} = 1 + \frac{1}{2n} - \frac{1}{8n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)$
提示：注意 $a>0$ 时 $\ln a$ 可能为负，但不影响展开形式。
步骤 2/4
目标：作差得到通项的主要部分
将两个展开式相减：$\sqrt[n]{a} - \sqrt{1+\frac{1}{n}} = \left(1 + \frac{\ln a}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) - \left(1 + \frac{1}{2n} - \frac{1}{8n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)\right)$。常数项 $1$ 抵消，得到 $\frac{\ln a - \frac12}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$。
公式：$\sqrt[n]{a} - \sqrt{1+\frac{1}{n}} = \frac{\ln a - \frac12}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$
提示：合并 $O$ 项时注意阶数：$O(1/n^2)$ 项对应的级数绝对收敛，不影响敛散性判断。
步骤 3/4
目标：根据主要项判断敛散性
由于 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ 发散（调和级数），而 $\sum_{n=1}^\infty O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ 收敛，因此整个级数的敛散性由 $\frac{\ln a - 1/2}{n}$ 决定。若 $\ln a - \frac12 \neq 0$，则通项与 $1/n$ 同阶且非零系数，级数发散；若 $\ln a - \frac12 = 0$，即 $a = \sqrt{e}$，则主要项消失，级数收敛。
公式：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ 发散，$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 收敛
提示：不要忽略 $O(1/n^2)$ 项的收敛性，它是判断的关键辅助。
步骤 4/4
目标：给出最终结论
综合以上分析：当 $a = \sqrt{e}$ 时，级数收敛；当 $a > 0$ 且 $a \neq \sqrt{e}$ 时，级数发散。
公式：$a = e^{1/2} = \sqrt{e}$ 为收敛的临界值
提示：注意 $a>0$ 是题目条件，$a=1$ 时 $\ln a =0$，此时系数为 $-1/2$，级数仍发散。
步骤 5/5
目标：给出最终结论
综合以上讨论：
- 当 $a = \sqrt{e}$ 时，级数收敛；
- 当 $a > 0$ 且 $a \neq \sqrt{e}$ 时，级数发散。
公式：\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt[n]{a}-\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right) \text{ 收敛当且仅当 } a = \sqrt{e}
提示：注意 $a>0$ 是题目条件，$\sqrt{e}$ 是唯一收敛点。
步骤 6/6
目标：给出最终结论
综合以上讨论：
- 当 $a = \sqrt{e}$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt[n]{a}-\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right)$ 收敛；
- 当 $a>0$ 且 $a \neq \sqrt{e}$ 时，级数发散。
公式：收敛当且仅当 $a = \sqrt{e}$
提示：注意 $a>0$ 是题设条件，无需额外讨论 $a\le0$ 的情况。
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