东南大学 2023年数学分析第12题
📝 题目
12．$\displaystyle f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ 单调，证明：$f$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确证明目标与前提
设函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上单调递增（单调递减情形类似，可转化为递增处理）。要证明 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积。
提示：注意单调性包括单调递增和单调递减，只需证明一种情形，另一种可通过取负函数得到。
步骤 2/7
目标：构造等分划分
对任意正整数 $n$，将区间 $[a,b]$ 等分为 $n$ 个小区间：
$$a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b,$$
其中 $x_i = a + i\frac{b-a}{n}$，每个小区间长度为 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$。
公式：$\Delta x = \frac{b-a}{n}$
提示：等分划分是为了方便计算上下和之差，实际证明中任何划分均可，但等分最简单。
步骤 3/7
目标：写出下和与上和
由于 $f$ 单调递增，在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上，最小值 $m_i = f(x_{i-1})$，最大值 $M_i = f(x_i)$。于是下和与上和分别为：
$$L(f,P_n) = \sum_{i=1}^n f(x_{i-1})\Delta x, \quad U(f,P_n) = \sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x.$$
公式：$L = \sum f(x_{i-1})\Delta x, \quad U = \sum f(x_i)\Delta x$
提示：注意单调递增时，左端点取最小值，右端点取最大值；单调递减时相反。
步骤 4/7
目标：计算上下和之差
上下和之差为：
$$U - L = \sum_{i=1}^n \big(f(x_i)-f(x_{i-1})\big)\Delta x = \frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^n \big(f(x_i)-f(x_{i-1})\big).$$
公式：$U - L = \frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^n (f(x_i)-f(x_{i-1}))$
提示：将 $\Delta x$ 提出后，求和是 telescoping sum，注意不要遗漏因子。
步骤 5/7
目标：化简求和（裂项相消）
求和项为 telescoping sum：
$$\sum_{i=1}^n \big(f(x_i)-f(x_{i-1})\big) = f(b)-f(a).$$
因此：
$$U - L = \frac{b-a}{n}\big(f(b)-f(a)\big).$$
公式：$U - L = \frac{b-a}{n}(f(b)-f(a))$
提示：裂项相消时，中间项全部抵消，只剩首尾两项。注意 $f(b)-f(a)$ 可能为负，但绝对值不影响极限。
步骤 6/7
目标：取极限并应用达布准则
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{b-a}{n}(f(b)-f(a)) \to 0$。对任意 $\varepsilon > 0$，取 $n > \frac{(b-a)(f(b)-f(a))}{\varepsilon}$，则 $U-L < \varepsilon$。由达布准则，$f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积。
公式：$\lim_{n\to\infty}(U-L)=0$
提示：达布准则：函数可积当且仅当对任意 $\varepsilon>0$，存在划分使得上下和之差小于 $\varepsilon$。这里用等分划分即可。
步骤 7/7
目标：处理单调递减情形
若 $f$ 单调递减，则 $-f$ 单调递增，由已证结论 $-f$ 可积，从而 $f$ 也可积（可积函数的线性组合仍可积）。因此单调函数必可积。
提示：注意单调递减时，直接套用递增证明需调整符号，但用 $-f$ 转化更简洁。
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