东南大学 2023年数学分析第13题

由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上是下凸函数（凸函数），则对任意 $x_1 < x_2 < x_3$ 在区间内，有 \[ \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2} \] 即斜率单调递增。又因为 $f$ 可导，该性质等价于导函数 $f'(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递增。

因为 $f$ 在 $[a,b]$ 上无极值点，所以区间内部不存在局部极大值或极小值。对于可导的凸函数，若存在 $c \in (a,b)$ 使得 $f'(c)=0$，则由导函数单调递增知：当 $xc$ 时 $f'(x) \ge 0$，从而 $c$ 为极小值点，与无极值点矛盾。因此，$f'(x)$ 在 $(a,b)$ 内不能为零。

由于 $f'(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递增且不能在内部为零，则 $f'(x)$ 在整个区间上要么恒正，要么恒负。若 $f'(x) > 0$ 对所有 $x \in [a,b]$ 成立，则 $f$ 严格递增；若 $f'(x) < 0$ 对所有 $x \in [a,b]$ 成立，则 $f$ 严格递减。两种情形下 $f$ 都是单调的。

即使导数在端点 $a$ 或 $b$ 处可能为零（例如 $f'(a)=0$ 或 $f'(b)=0$），但由于内部导数符号恒定且单调，整体单调性不受影响。例如，若 $f'(x)>0$ 在 $(a,b)$ 成立，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上严格递增；若 $f'(x)<0$ 在 $(a,b)$ 成立，则 $f$ 严格递减。因此，$f$ 在 $[a,b]$ 上单调。

若 $f'(x) > 0$ 对所有 $x \in [a,b]$ 成立，则由拉格朗日中值定理，对任意 $x_1 < x_2$，存在 $\xi \in (x_1,x_2)$ 使得 $f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1) > 0$，故 $f$ 严格递增。若 $f'(x) < 0$，同理可得 $f$ 严格递减。因此 $f$ 在 $[a,b]$ 上单调（且严格单调）。

综合第四、五步，$f'(x)$ 要么恒正，要么恒负。若 $f'(x) > 0$ 恒成立，则 $f$ 严格单调递增；若 $f'(x) < 0$ 恒成立，则 $f$ 严格单调递减。因此 $f$ 在 $[a,b]$ 上单调（且严格单调）。

综上所述，$f$ 在 $[a,b]$ 上严格单调。