东南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
1．设 $y=y(x)$ 是由方程 $\arcsin (x y)+y^{2}-y \cdot e^{x y}=2$ 确定的隐函数，求曲线 $y=y(x)$ 在点 $(0,2)$ 处的切线方程和法线方程．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：验证点 (0,2) 是否在曲线上
将 $x=0, y=2$ 代入方程 $\arcsin(xy) + y^2 - y e^{xy} = 2$，计算得 $\arcsin(0) + 4 - 2 \cdot e^0 = 0 + 4 - 2 = 2$，左边等于右边，因此点 $(0,2)$ 在曲线上。
公式：代入验证：$\arcsin(0 \cdot 2) + 2^2 - 2 \cdot e^{0 \cdot 2} = 2$
提示：验证点是求切线的前提，确保点满足方程，否则后续计算无意义。
步骤 2/5
目标：隐函数求导，得到关于 y' 的方程
方程两边对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数：
- $\frac{d}{dx} \arcsin(xy) = \frac{1}{\sqrt{1-(xy)^2}} \cdot (y + x y')$
- $\frac{d}{dx} y^2 = 2y y'$
- $\frac{d}{dx} (-y e^{xy}) = -[y' e^{xy} + y e^{xy} (y + x y')]$
- 右边常数导数为 $0$。
整理得：$\frac{y + x y'}{\sqrt{1 - x^2 y^2}} + 2y y' - y' e^{xy} - y e^{xy}(y + x y') = 0$
公式：$\frac{d}{dx} \arcsin(xy) = \frac{y + x y'}{\sqrt{1 - (xy)^2}}$
提示：注意复合函数求导时，$\arcsin$ 的导数分母有根号，且内部 $xy$ 需用乘法法则。
步骤 3/5
目标：代入点 (0,2) 计算 y'
在点 $(0,2)$ 处，$xy=0$，$\sqrt{1-0}=1$，$e^{xy}=1$。代入导数方程：
第一项：$\frac{2 + 0 \cdot y'}{1} = 2$
第二项：$2 \cdot 2 \cdot y' = 4y'$
第三项：$- y' \cdot 1 = -y'$
第四项：$-2 \cdot 1 \cdot (2 + 0) = -4$
方程化为 $2 + 4y' - y' - 4 = 0$，即 $3y' - 2 = 0$，解得 $y' = \frac{2}{3}$。
公式：$3y' - 2 = 0 \Rightarrow y' = \frac{2}{3}$
提示：代入时注意 $x=0$ 简化了根号和指数项，避免遗漏符号。
步骤 4/5
目标：写出切线方程
切线斜率 $k = y' = \frac{2}{3}$，过点 $(0,2)$，由点斜式得切线方程：$y - 2 = \frac{2}{3}(x - 0)$，即 $y = \frac{2}{3}x + 2$。
公式：$y - y_0 = k(x - x_0)$
提示：切线方程需化简为斜截式或一般式，注意点斜式中斜率代入正确。
步骤 5/5
目标：写出法线方程
法线斜率 $k_{\perp} = -\frac{1}{k} = -\frac{3}{2}$，过点 $(0,2)$，法线方程为 $y - 2 = -\frac{3}{2}(x - 0)$，即 $y = -\frac{3}{2}x + 2$。
公式：$k_{\perp} = -\frac{1}{k}$
提示：法线斜率是切线斜率的负倒数，注意不要混淆符号。
步骤 6/6
目标：写出法线方程
法线斜率 $k_n = -\frac{1}{k_t} = -\frac{3}{2}$，过点 $(0,2)$，由点斜式得：
$$y - 2 = -\frac{3}{2}(x - 0)$$
化简为：
$$y = -\frac{3}{2}x + 2$$
公式：法线斜率与切线斜率互为负倒数：$k_n = -\frac{1}{k_t}$
提示：法线斜率计算时注意符号，不要忘记负号。
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