📝 东南大学 2024年数学分析真题
第0题
1．设 $y=y(x)$ 是由方程 $\arcsin (x y)+y^{2}-y \cdot e^{x y}=2$ 确定的隐函数，求曲线 $y=y(x)$ 在点 $(0,2)$ 处的切线方程和法线方程．
第0题
2．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[n]{n^{2}+1}-1\right) \cdot \sin \left(\frac{n \pi}{2}\right)$ ．
第0题
3．计算 $\displaystyle \int \frac{\arccos x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
第0题
4．计算 $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{x+2}{e^{x}+e^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
第0题
5．求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!\cdot 2^{n}}(x-2)^{n}$ 的收玫域与和函数．
第0题
6．计算二重积分： $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y \cos y}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 为直线 $y=x$与抛物线 $x=y^{2}$ 所围成的封闭区域．
第0题
7．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0 & , x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，求二阶偏导数 $f_{x y}^{\prime \prime}$ ．
第0题
8．设函数 $f(x)=\pi-x$ ，其中 $x \in[0, \pi]$ ．
（1）将 $f(x)$ 展开为余弦级数，并在 $[-\pi, \pi]$ 上写出和函数表达式．
（2）判断该级数在 $[0, \pi]$ 内是否一致收敛，并说明原因．
（1）将 $f(x)$ 展开为余弦级数，并在 $[-\pi, \pi]$ 上写出和函数表达式．
（2）判断该级数在 $[0, \pi]$ 内是否一致收敛，并说明原因．
第0题
9．计算曲线积分：$I=\oint_{L} y^{2} \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} y+x^{2} \mathrm{~d} z$ ，其中 $L$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与柱面 $x^{2}+y^{2}=a x$ 的交线，从 $z$ 轴正向看过去为逆时针方向，其中 $z \geq 0, a>0$ ．
## 10．解答如下问题．
（1）求极限： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\cos x}{\int_{0}^{x} \frac{\ln (1+x y)}{y} \mathrm{~d} y}$ ．
（2）计算含参量反常积分： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin (x y)}{y \cdot e^{y}} \mathrm{~d} y$ ．
## 10．解答如下问题．
（1）求极限： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\cos x}{\int_{0}^{x} \frac{\ln (1+x y)}{y} \mathrm{~d} y}$ ．
（2）计算含参量反常积分： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin (x y)}{y \cdot e^{y}} \mathrm{~d} y$ ．
第0题
11．设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，且
$$
f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1
$$
证明：必定存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=1$ ．
$$
f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1
$$
证明：必定存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=1$ ．
第0题
12．设 $D=\{(x, y): 0<x<1,0<y<+\infty\}$ ，证明：对任意的 $(x, y) \in D$ ，成立不等式：$\displaystyle y \cdot x^{y} \cdot(1-x)<\frac{1}{e}$ ．
第0题
13．设 $f_{n}(x)=n^{\alpha} \cdot x e^{-n x},(n=1,2, \cdots)$ ，问：
（1）当 $\alpha$ 为何值时，$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上收敛？
（2）当 $\alpha$ 为何值时，$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛？
（3）当 $\alpha$ 为何值时，以下等式成立？
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x
$$
（1）当 $\alpha$ 为何值时，$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上收敛？
（2）当 $\alpha$ 为何值时，$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛？
（3）当 $\alpha$ 为何值时，以下等式成立？
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x
$$
第0题
14．设 $a_{n}>0$ ，正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，以 $S_{n}$ 表示前 $n$ 项的和，即
$$
S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k} .
$$
证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 发散．（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}{ }^{2}}$ 收玫。
$$
S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k} .
$$
证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 发散．（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}{ }^{2}}$ 收玫。
第0题
15．证明：若 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上分别对每个自变量 $x$ 和 $y$ 都连续，并且对 $x$ 是单调的，则函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 内为连续函数．
## 16．（ 10 分）解答如下问题：
（1）叙述 $\mathbb{R}^{n}$ 上的有限覆盖定理．
（2）设对任意的 $x_{0} \in[a, b]$ ，有 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=0$ ，证明：
$$
f(x) \in \mathbb{R}[a, b] \text { 且 } \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0 .
$$
## 16．（ 10 分）解答如下问题：
（1）叙述 $\mathbb{R}^{n}$ 上的有限覆盖定理．
（2）设对任意的 $x_{0} \in[a, b]$ ，有 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=0$ ，证明：
$$
f(x) \in \mathbb{R}[a, b] \text { 且 } \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0 .
$$