东南大学 2024年数学分析第0题

分部积分公式为 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$。令 $u = \arccos x$，$dv = \frac{1}{x^2} dx$，则 $du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$，$v = \int x^{-2} dx = -\frac{1}{x}$。

代入得：$\int \frac{\arccos x}{x^2} dx = (\arccos x) \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) - \int \left(-\frac{1}{x}\right) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) dx = -\frac{\arccos x}{x} - \int \frac{1}{x\sqrt{1-x^2}} dx$。

计算 $I = \int \frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}}$。令 $x = \sin t$，$t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，则 $dx = \cos t \, dt$，$\sqrt{1-x^2} = \cos t$。于是 $I = \int \frac{\cos t \, dt}{\sin t \cdot \cos t} = \int \frac{dt}{\sin t} = \int \csc t \, dt$。

由 $\int \csc t \, dt = \ln |\csc t - \cot t| + C$，且 $\csc t = \frac{1}{x}$，$\cot t = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$，得 $I = \ln \left| \frac{1}{x} - \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \right| + C = \ln \left| \frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x} \right| + C$。

原积分结果为 $-\frac{\arccos x}{x} - \ln \left| \frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x} \right| + C$。利用恒等式 $\frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x} = \frac{x}{1 + \sqrt{1-x^2}}$，可将结果化为 $-\frac{\arccos x}{x} - \ln \left| \frac{x}{1 + \sqrt{1-x^2}} \right| + C = -\frac{\arccos x}{x} + \ln \left| \frac{1 + \sqrt{1-x^2}}{x} \right| + C$。

将结果代入原式： $\int \frac{\arccos x}{x^2} dx = -\frac{\arccos x}{x} - \ln \left| \frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x} \right| + C$。 也可化简为 $\ln \left| \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}} \right|$ 的形式，但上述形式已为最终答案。