东南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
5．求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!\cdot 2^{n}}(x-2)^{n}$ 的收玫域与和函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定幂级数的通项并求收敛半径
给定幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!\cdot 2^{n}}(x-2)^{n}$，其通项系数为 $a_n = \frac{n+1}{n! \cdot 2^n}$。使用比值法求收敛半径：$R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$。计算比值：$\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n+1}{n!\,2^n}}{\frac{n+2}{(n+1)!\,2^{n+1}}} = \frac{n+1}{n!\,2^n} \cdot \frac{(n+1)!\,2^{n+1}}{n+2} = \frac{(n+1)^2 \cdot 2}{n+2}$。取极限得 $R = \lim_{n\to\infty} \frac{2(n+1)^2}{n+2} = +\infty$。
公式：$R = \lim_{n\to\infty} \frac{2(n+1)^2}{n+2} = +\infty$
提示：注意 $(n+1)! = (n+1)n!$ 的化简，避免计算错误。
步骤 2/5
目标：确定收敛域
由于收敛半径 $R = +\infty$，幂级数在整个实数轴上收敛，因此收敛域为 $(-\infty, +\infty)$。无需讨论端点。
公式：收敛域：$(-\infty, +\infty)$
提示：当收敛半径为无穷大时，级数对所有实数 $x$ 绝对收敛。
步骤 3/5
目标：变量代换简化级数
令 $t = \frac{x-2}{2}$，则 $\frac{(x-2)^n}{2^n} = t^n$。原级数化为 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!} t^n$。
公式：$t = \frac{x-2}{2}$，$S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!} t^n$
提示：代换后注意级数形式与指数函数展开式的关联。
步骤 4/5
目标：拆分级数为两个已知级数
将 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!} t^n$ 拆分为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!} t^n + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} t^n$。对于第一项，当 $n \ge 1$ 时，$\frac{n}{n!} = \frac{1}{(n-1)!}$，所以 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!} t^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{(n-1)!} = t \sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^k}{k!} = t e^t$。第二项 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n!} = e^t - 1$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!} t^n = t e^t$，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} t^n = e^t - 1$
提示：注意 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} = e^t$，因此从 $n=1$ 开始要减去常数项。
步骤 5/5
目标：合并级数并代回原变量
合并得 $S(x) = t e^t + e^t - 1 = e^t (t+1) - 1$。代回 $t = \frac{x-2}{2}$，得 $S(x) = e^{\frac{x-2}{2}} \left( \frac{x-2}{2} + 1 \right) - 1$。化简括号内：$\frac{x-2}{2} + 1 = \frac{x}{2}$。因此和函数为 $S(x) = \frac{x}{2} e^{\frac{x-2}{2}} - 1$。
公式：$S(x) = \frac{x}{2} e^{\frac{x-2}{2}} - 1$
提示：化简时注意 $\frac{x-2}{2}+1 = \frac{x}{2}$，避免代数错误。
步骤 6/7
目标：化简第二个和式
第二个和式为：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n! 2^{n}} (x-2)^{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \left( \frac{x-2}{2} \right)^{n} = e^{(x-2)/2} - 1,
$$
因为指数函数从 $n=0$ 开始，缺少 $n=0$ 的项 $1$。
公式：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{n}}{n!} = e^{t}$，故 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^{n}}{n!} = e^{t} - 1$
提示：注意求和起始下标为 $n=1$，需减去 $n=0$ 的项。
步骤 7/7
目标：合并得到和函数
将两部分相加：
$$
S(x) = \frac{x-2}{2} e^{(x-2)/2} + \left( e^{(x-2)/2} - 1 \right) = \left( \frac{x-2}{2} + 1 \right) e^{(x-2)/2} - 1.
$$
化简括号内：$\frac{x-2}{2} + 1 = \frac{x}{2}$，因此和函数为：
$$
S(x) = \frac{x}{2} e^{(x-2)/2} - 1.
$$
公式：$S(x) = \frac{x}{2} e^{\frac{x-2}{2}} - 1$
提示：最终结果应化简为最简形式，注意合并同类项。
步骤 8/8
目标：总结最终答案
收敛域为 $(-\infty, +\infty)$，和函数为 $S(x) = \frac{x}{2} e^{\frac{x-2}{2}} - 1$。
提示：和函数定义在整个实数轴上。
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