东南大学 2024年数学分析第0题

将 $f(x)=\pi-x$ 在 $[0,\pi]$ 上作偶延拓，展开为余弦级数。余弦级数形式为 $f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)$，其中 $a_0=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\,dx$。计算得 $a_0=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi (\pi-x)\,dx=\frac{2}{\pi}\left[\pi x-\frac{x^2}{2}\right]_0^\pi=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^2}{2}=\pi$。

计算 $a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi (\pi-x)\cos(nx)\,dx$。拆分为 $\frac{2}{\pi}\left[\pi\int_0^\pi\cos(nx)\,dx - \int_0^\pi x\cos(nx)\,dx\right]$。第一项 $\int_0^\pi\cos(nx)\,dx=0$，第二项用分部积分：令 $u=x,\,dv=\cos(nx)dx$，得 $\int_0^\pi x\cos(nx)\,dx = \left.\frac{x\sin(nx)}{n}\right|_0^\pi - \int_0^\pi \frac{\sin(nx)}{n}dx = 0 + \frac{1}{n^2}[\cos(nx)]_0^\pi = \frac{(-1)^n-1}{n^2}$。因此 $a_n = -\frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^n-1}{n^2} = \frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}$。

当 $n$ 为偶数时 $a_n=0$；当 $n$ 为奇数时，令 $n=2k-1$，则 $a_{2k-1}=\frac{4}{\pi(2k-1)^2}$。所以余弦级数为 $f(x)\sim\frac{\pi}{2}+\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^\infty\frac{\cos((2k-1)x)}{(2k-1)^2}$。由于 $f(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上连续且偶延拓后端点连续，该级数在 $[0,\pi]$ 上逐点收敛到 $f(x)$。在 $[-\pi,\pi]$ 上和函数为 $S(x)=\pi-|x|$。

考虑级数 $\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^\infty\frac{\cos((2k-1)x)}{(2k-1)^2}$，其通项绝对值 $\left|\frac{4\cos((2k-1)x)}{\pi(2k-1)^2}\right|\leq\frac{4}{\pi(2k-1)^2}$。而数项级数 $\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(2k-1)^2}$ 收敛（$p=2>1$ 的 $p$ 级数），由 Weierstrass M-判别法，该级数在 $[0,\pi]$ 上一致收敛。常数项 $\frac{\pi}{2}$ 不影响一致收敛性。

代回 a_n： \[ a_n = \frac{2}{\pi} \left[ 0 - \frac{(-1)^n - 1}{n^2} \right] = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1 - (-1)^n}{n^2} \] 当 n 为偶数时，1-(-1)^n=0，故 a_n=0；当 n 为奇数时，设 n=2k-1，则 1-(-1)^{2k-1}=2，于是： \[ a_{2k-1} = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{2}{(2k-1)^2} = \frac{4}{\pi (2k-1)^2} \]

余弦级数为： \[ f(x) \sim \frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos((2k-1)x)}{(2k-1)^2}, \quad x \in [0,\pi] \] 偶延拓后在 [-π,π] 上的和函数为： \[ S(x) = \pi - |x|, \quad |x| \le \pi \] 并以 2π 为周期延拓到整个实数轴。

由于系数衰减速度为 1/n²，且 |cos((2k-1)x)| ≤ 1，故有： \[ \left| \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos((2k-1)x)}{(2k-1)^2} \right| \leq \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)^2} < \infty \] 由 Weierstrass M-判别法，该级数在 [0,π] 上一致收敛。