东南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
13．设 $f_{n}(x)=n^{\alpha} \cdot x e^{-n x},(n=1,2, \cdots)$ ，问：
（1）当 $\alpha$ 为何值时，$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上收敛？
（2）当 $\alpha$ 为何值时，$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛？
（3）当 $\alpha$ 为何值时，以下等式成立？
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析函数序列的点态收敛性
固定 $x \in [0,1]$，考虑 $n \to \infty$ 时 $f_n(x) = n^\alpha x e^{-nx}$ 的极限。当 $x=0$ 时，$f_n(0)=0$，极限为 $0$。当 $x>0$ 时，指数函数 $e^{-nx}$ 衰减速度远快于幂函数 $n^\alpha$ 的增长速度，因此对任意实数 $\alpha$，有 $\lim_{n\to\infty} n^\alpha e^{-nx}=0$，从而 $f_n(x)\to 0$。
公式：\lim_{n\to\infty} n^\alpha e^{-nx}=0 \quad (x>0)
提示：注意 $x=0$ 是边界点，需单独讨论，但结果一致。
步骤 2/7
目标：得出点态收敛的条件
由上述分析可知，对于任意 $x \in [0,1]$，$\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$。因此函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $[0,1]$ 上逐点收敛到零函数，且对 $\alpha$ 无任何限制。
公式：\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0, \quad \forall \alpha \in \mathbb{R}
提示：点态收敛只要求每个点处极限存在，不要求收敛速度一致。
步骤 3/7
目标：分析一致收敛性，求上确界
一致收敛到零需要 $\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-0| \to 0$。令 $g_n(x)=x e^{-nx}$，求导得 $g_n'(x)=e^{-nx}(1-nx)$，令导数为零得 $x=1/n$，且该点为最大值点。计算得 $g_n(1/n)=\frac{1}{n}e^{-1}$，因此 $\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)| = n^\alpha \cdot \frac{1}{n}e^{-1} = \frac{n^{\alpha-1}}{e}$。
公式：\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)| = \frac{n^{\alpha-1}}{e}
提示：求最大值时需确认 $x=1/n$ 在区间 $[0,1]$ 内，当 $n\ge 1$ 时成立。
步骤 4/7
目标：得出一致收敛的条件
一致收敛要求 $\lim_{n\to\infty} \frac{n^{\alpha-1}}{e}=0$，即 $\alpha-1<0$，解得 $\alpha<1$。若 $\alpha=1$，上确界为常数 $1/e$，不趋于零；若 $\alpha>1$，上确界趋于无穷，更不收敛。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{n^{\alpha-1}}{e}=0 \iff \alpha<1
提示：一致收敛的充要条件是上确界趋于零，注意与点态收敛的区别。
步骤 5/7
目标：计算积分 $\int_0^1 f_n(x) dx$
先计算 $\int_0^1 x e^{-nx} dx$，使用分部积分法：令 $u=x$，$dv=e^{-nx}dx$，则 $du=dx$，$v=-\frac{1}{n}e^{-nx}$。于是 $\int_0^1 x e^{-nx}dx = \left[-\frac{x}{n}e^{-nx}\right]_0^1 + \frac{1}{n}\int_0^1 e^{-nx}dx = -\frac{1}{n}e^{-n} + \frac{1}{n}\left[-\frac{1}{n}e^{-nx}\right]_0^1 = -\frac{e^{-n}}{n} - \frac{e^{-n}}{n^2} + \frac{1}{n^2}$。因此 $\int_0^1 f_n(x)dx = n^\alpha \left( \frac{1}{n^2} - \frac{e^{-n}}{n} - \frac{e^{-n}}{n^2} \right) = n^{\alpha-2} - e^{-n}(n^{\alpha-1}+n^{\alpha-2})$。
公式：\int_0^1 f_n(x)dx = n^{\alpha-2} - e^{-n}(n^{\alpha-1}+n^{\alpha-2})
提示：分部积分时注意符号，$e^{-n}$ 项在 $n\to\infty$ 时趋于零。
步骤 6/7
目标：分析极限与积分交换的条件
右边 $\int_0^1 \lim_{n\to\infty} f_n(x) dx = \int_0^1 0 dx = 0$。左边极限 $\lim_{n\to\infty} \int_0^1 f_n(x)dx = \lim_{n\to\infty} \left[ n^{\alpha-2} - e^{-n}(n^{\alpha-1}+n^{\alpha-2}) \right]$。由于 $e^{-n}$ 项趋于零，极限取决于 $n^{\alpha-2}$。当 $\alpha<2$ 时，$n^{\alpha-2}\to 0$，等式成立；当 $\alpha=2$ 时，极限为 $1$，不相等；当 $\alpha>2$ 时，极限为 $+\infty$，也不相等。
公式：\lim_{n\to\infty} \int_0^1 f_n(x)dx = \lim_{n\to\infty} n^{\alpha-2}
提示：注意 $e^{-n}$ 项衰减极快，不影响极限的最终结果，只需关注 $n^{\alpha-2}$ 的收敛性。
步骤 7/7
目标：总结三个小问的答案
（1）点态收敛：对任意实数 $\alpha$ 均收敛。（2）一致收敛：当且仅当 $\alpha<1$。（3）极限与积分交换：当且仅当 $\alpha<2$。
公式：\text{（1）}\forall\alpha\in\mathbb{R}\quad \text{（2）}\alpha<1\quad \text{（3）}\alpha<2
提示：注意三个条件不同，点态收敛最宽松，一致收敛要求更严格，积分交换条件介于两者之间。
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