东南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
11．设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，且
$$
f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1
$$
证明：必定存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助函数，将导数为1的问题转化为导数为0的问题
令 $g(x) = f(x) - x$，则 $g'(x) = f'(x) - 1$。要证明存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f'(\xi)=1$，等价于证明存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $g'(\xi)=0$。
公式：$g(x) = f(x) - x$，$g'(x) = f'(x) - 1$
提示：构造辅助函数是微分中值定理证明中的常用技巧，目标是将待证等式转化为函数值相等或导数为零的形式。
步骤 2/5
目标：计算辅助函数在已知点的函数值
由已知条件：$f(0)=0$，$f(1)=0$，$f\left(\frac{1}{2}\right)=1$。代入 $g(x)$ 得：
$g(0)=f(0)-0=0$，
$g(1)=f(1)-1=0-1=-1$，
$g\left(\frac{1}{2}\right)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
公式：$g(0)=0$，$g(1)=-1$，$g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$
提示：注意 $g(0)$ 和 $g(1)$ 不相等，因此不能直接对 $[0,1]$ 用罗尔定理。
步骤 3/5
目标：利用介值定理寻找使 $g(x)=0$ 的点
由于 $g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}>0$，而 $g(1)=-1<0$，且 $g(x)$ 在 $[\frac{1}{2},1]$ 上连续，由介值定理知，存在 $c \in \left(\frac{1}{2},1\right)$ 使得 $g(c)=0$。
公式：$\exists c \in \left(\frac{1}{2},1\right)$，使得 $g(c)=0$
提示：介值定理要求函数在闭区间上连续，且端点值异号。这里 $g(1/2)>0$，$g(1)<0$，满足条件。
步骤 4/5
目标：在区间 $[0,c]$ 上应用罗尔定理
现在有 $g(0)=0$ 和 $g(c)=0$，且 $0
公式：$\exists \xi \in (0,c)$，使得 $g'(\xi)=0$
提示：罗尔定理的三个条件：闭区间连续、开区间可导、端点值相等，缺一不可。
步骤 5/5
目标：将结论还原为原函数 $f(x)$
由 $g'(\xi)=0$ 即 $f'(\xi)-1=0$，得 $f'(\xi)=1$。因此，必定存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f'(\xi)=1$。
公式：$f'(\xi)=1$
提示：最后一步不要忘记将辅助函数的结论转换回原问题的结论。
步骤 6/6
目标：返回原函数导数并得出结论
由 $g'(\xi)=f'(\xi)-1=0$，立即得到 $f'(\xi)=1$。因此，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f'(\xi)=1$，命题得证。
公式：f'(\xi)=1
提示：最后一步不要忘记将辅助函数的结论转换回原函数。
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