东南大学 2024年数学分析第0题

考虑第一个因子 $\sqrt[n]{n^2+1} = (n^2+1)^{1/n}$。取自然对数得 $\ln\left((n^2+1)^{1/n}\right) = \frac{\ln(n^2+1)}{n}$。当 $n \to +\infty$ 时，$\ln(n^2+1) \sim 2\ln n$，因此 $\frac{\ln(n^2+1)}{n} \sim \frac{2\ln n}{n} \to 0$，从而 $\sqrt[n]{n^2+1} \to 1$。进一步展开：$\sqrt[n]{n^2+1} = e^{\frac{\ln(n^2+1)}{n}} = 1 + \frac{\ln(n^2+1)}{n} + o\left(\frac{\ln n}{n}\right)$，故 $\sqrt[n]{n^2+1} - 1 \sim \frac{\ln(n^2+1)}{n} \sim \frac{2\ln n}{n}$，即第一个因子趋于0，速度约为 $\frac{2\ln n}{n}$。

第二个因子为 $\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)$，其中 $n$ 为正整数。其取值规律如下：当 $n=2k$（偶数）时，$\frac{n\pi}{2}=k\pi$，$\sin(k\pi)=0$；当 $n=4k+1$ 时，角度为 $2k\pi+\frac{\pi}{2}$，$\sin=1$；当 $n=4k+3$ 时，角度为 $2k\pi+\frac{3\pi}{2}$，$\sin=-1$。因此该因子在 $-1,0,1$ 之间振荡，不趋于固定值。

由于 $\left|\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\right| \le 1$，对任意 $n$ 有 $\left|\left(\sqrt[n]{n^2+1} - 1\right) \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\right| \le \sqrt[n]{n^2+1} - 1$。由第一步知 $\sqrt[n]{n^2+1} - 1 \to 0$，因此由夹逼定理，原极限为0。

综合以上分析，无论 $n$ 取何子列，乘积的绝对值都趋于0，故原极限为0。

综合奇偶子列的分析，无论 $n$ 取何值，整个表达式在 $n\to+\infty$ 时都趋于0。因此原极限为0。

由第二步的放缩，有 \[0 \leq \left|\left(\sqrt[n]{n^{2}+1}-1\right) \cdot \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\right| \leq \left|\sqrt[n]{n^{2}+1}-1\right|.\] 而 $\left|\sqrt[n]{n^{2}+1}-1\right| \to 0$，由夹逼定理得原极限的绝对值为0，故原极限为0。