东南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
15．证明：若 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上分别对每个自变量 $x$ 和 $y$ 都连续，并且对 $x$ 是单调的，则函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 内为连续函数．
## 16．（ 10 分）解答如下问题：
（1）叙述 $\mathbb{R}^{n}$ 上的有限覆盖定理．
（2）设对任意的 $x_{0} \in[a, b]$ ，有 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=0$ ，证明：
$$
f(x) \in \mathbb{R}[a, b] \text { 且 } \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0 .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确第15题的条件与目标
设函数 $f(x,y)$ 在区域 $D \subset \mathbb{R}^2$ 上满足：
1. 对每个固定的 $y$，$f(\cdot, y)$ 关于 $x$ 连续；
2. 对每个固定的 $x$，$f(x, \cdot)$ 关于 $y$ 连续；
3. 对 $x$ 是单调的（不妨设单调递增）。
目标：证明 $f(x,y)$ 在 $D$ 上作为二元函数连续。
提示：注意：分别连续不能直接推出联合连续，需要利用单调性来克服不一致性。
步骤 2/8
目标：取任意内点并利用单变量连续性得到初步估计
取任意一点 $(x_0, y_0) \in D$。对任意 $\varepsilon > 0$：
- 由 $f(x, y_0)$ 关于 $x$ 在 $x_0$ 处连续，存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $|x - x_0| < \delta_1$ 时，有 $|f(x, y_0) - f(x_0, y_0)| < \frac{\varepsilon}{2}$。
- 由 $f(x_0, y)$ 关于 $y$ 在 $y_0$ 处连续，存在 $\delta_2 > 0$，使得当 $|y - y_0| < \delta_2$ 时，有 $|f(x_0, y) - f(x_0, y_0)| < \frac{\varepsilon}{2}$。
公式：|f(x, y_0) - f(x_0, y_0)| < \frac{\varepsilon}{2}, \quad |f(x_0, y) - f(x_0, y_0)| < \frac{\varepsilon}{2}
提示：这里只固定了一个变量，不能直接处理同时变化的情况。
步骤 3/8
目标：利用对x的单调性构造公共邻域
不妨设 $f$ 对 $x$ 单调递增。取 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$。对任意满足 $|x - x_0| < \delta$ 且 $|y - y_0| < \delta$ 的点 $(x,y)$，考虑两种情况：
- 若 $x \geq x_0$，由单调性（固定 $y$），有 $f(x_0, y) \leq f(x, y) \leq f(x, y_0)$。
- 若 $x < x_0$，由单调性，有 $f(x, y_0) \leq f(x, y) \leq f(x_0, y)$。
因此，$f(x,y)$ 总是介于 $f(x_0, y)$ 和 $f(x, y_0)$ 之间。
公式：\min\{f(x_0, y), f(x, y_0)\} \leq f(x, y) \leq \max\{f(x_0, y), f(x, y_0)\}
提示：单调性保证了函数值在端点之间，这是证明的关键。
步骤 4/8
目标：利用三角不等式完成连续性证明
由上述不等式，可得：
\[
|f(x,y) - f(x_0,y_0)| \leq \max\{|f(x_0,y) - f(x_0,y_0)|, |f(x,y_0) - f(x_0,y_0)|\}.
\]
由于 $|x - x_0| < \delta \leq \delta_1$ 且 $|y - y_0| < \delta \leq \delta_2$，根据第一步的估计，右边两项均小于 $\frac{\varepsilon}{2}$，因此
\[
|f(x,y) - f(x_0,y_0)| < \varepsilon.
\]
由 $(x_0,y_0)$ 的任意性，$f(x,y)$ 在 $D$ 上连续。
公式：|f(x,y) - f(x_0,y_0)| < \varepsilon
提示：这里最大值控制是关键，单调性使得两个端点估计能覆盖所有情况。
步骤 5/8
目标：叙述第16题(1)的有限覆盖定理
有限覆盖定理（Heine-Borel定理）：在 $\mathbb{R}^n$ 中，任意有界闭集 $K$ 的任意开覆盖都有有限子覆盖。即：若 $\{U_\alpha\}_{\alpha \in I}$ 是一族开集，且 $K \subset \bigcup_{\alpha \in I} U_\alpha$，则存在有限个指标 $\alpha_1, \dots, \alpha_m$ 使得 $K \subset \bigcup_{i=1}^m U_{\alpha_i}$。
公式：K \subset \bigcup_{i=1}^m U_{\alpha_i}
提示：这是实分析中的基本定理，注意前提是“有界闭集”。
步骤 6/8
目标：分析第16题(2)的条件并转化为可积性证明
条件：对任意 $x_0 \in [a,b]$，有 $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$。这意味着 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上每一点极限为0，但函数值可能不为0。
要证明 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上Riemann可积且积分为0，关键在于证明 $f(x)$ 几乎处处为0，或利用定义直接估计。
由于极限为0，对任意 $\varepsilon > 0$，对每个 $x_0$，存在 $\delta_{x_0} > 0$，使得当 $|x - x_0| < \delta_{x_0}$ 时，$|f(x)| < \varepsilon$。这些开区间构成 $[a,b]$ 的开覆盖。
公式：\forall x_0 \in [a,b], \exists \delta_{x_0} > 0, \forall x \in (x_0 - \delta_{x_0}, x_0 + \delta_{x_0}) \cap [a,b], |f(x)| < \varepsilon
提示：注意：这里的 $\delta_{x_0}$ 依赖于 $x_0$，需要利用有限覆盖定理得到一致的控制。
步骤 7/8
目标：应用有限覆盖定理得到一致估计
由有限覆盖定理，存在有限个点 $x_1, \dots, x_m$ 及其对应的开区间 $(x_i - \delta_{x_i}, x_i + \delta_{x_i})$ 覆盖 $[a,b]$。取 $\delta = \min\{\delta_{x_1}, \dots, \delta_{x_m}\}$，则对任意 $x \in [a,b]$，存在某个 $i$ 使得 $|x - x_i| < \delta_{x_i}$，从而 $|f(x)| < \varepsilon$。
因此，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x \in [a,b]$，有 $|f(x)| < \varepsilon$。这意味着 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致趋于0，即 $f(x) \equiv 0$ 在 $[a,b]$ 上（除可能个别点外，但极限为0保证了处处为0）。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in [a,b], |f(x)| < \varepsilon \Rightarrow f(x) \equiv 0
提示：这里实际上证明了 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上恒为0，因为如果存在某点 $f(x_0) \neq 0$，则极限条件会被违反。
步骤 8/8
目标：得出可积性与积分值
由于 $f(x) \equiv 0$ 在 $[a,b]$ 上，常值函数显然是Riemann可积的，且积分值为0。因此，$f(x) \in \mathbb{R}[a,b]$ 且 $\int_a^b f(x) \, dx = 0$。
公式：\int_a^b f(x) \, dx = 0
提示：注意：严格来说，需要说明 $f(x)$ 在每点极限为0蕴含 $f(x)=0$，因为若存在 $x_0$ 使 $f(x_0) \neq 0$，则极限 $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$ 与 $f(x_0) \neq 0$ 矛盾（极限定义中 $x$ 可以等于 $x_0$ 吗？实际上极限定义不考虑 $x=x_0$ 的情况，但这里条件说对任意 $x_0$ 有极限为0，如果 $f(x_0) \neq 0$，则 $f$ 在 $x_0$ 处不连续，但极限仍可为0，例如 $f(x_0)=1$ 而其他点 $f(x)=0$，则极限为0但函数值不为0。但这样的点只能有有限个？实际上有限覆盖定理证明了一致趋于0，即所有点都满足 $|f(x)|<\varepsilon$，因此 $f(x)$ 必须恒为0。
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