东南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
9．计算曲线积分：$I=\oint_{L} y^{2} \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} y+x^{2} \mathrm{~d} z$ ，其中 $L$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与柱面 $x^{2}+y^{2}=a x$ 的交线，从 $z$ 轴正向看过去为逆时针方向，其中 $z \geq 0, a>0$ ．
## 10．解答如下问题．
（1）求极限： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\cos x}{\int_{0}^{x} \frac{\ln (1+x y)}{y} \mathrm{~d} y}$ ．
（2）计算含参量反常积分： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin (x y)}{y \cdot e^{y}} \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：应用斯托克斯公式，将曲线积分转化为曲面积分
设向量场 $\mathbf{F} = (y^2, z^2, x^2)$，则曲线积分 $I = \oint_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$。由斯托克斯公式：
$$\oint_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS$$
其中 $S$ 是以 $L$ 为边界的曲面，取球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 上 $z \ge 0$ 的部分，方向与曲线方向满足右手定则。
公式：斯托克斯公式：$\oint_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS$
提示：注意曲线方向与曲面法向的匹配：从z轴正向看曲线为逆时针，则曲面法向量应指向上方（与z轴正向成锐角）。
步骤 2/7
目标：计算旋度 $\nabla \times \mathbf{F}$
计算旋度：
$$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)$$
代入 $F_x = y^2, F_y = z^2, F_z = x^2$，得：
- 第一分量：$\frac{\partial x^2}{\partial y} - \frac{\partial z^2}{\partial z} = 0 - 2z = -2z$
- 第二分量：$\frac{\partial y^2}{\partial z} - \frac{\partial x^2}{\partial x} = 0 - 2x = -2x$
- 第三分量：$\frac{\partial z^2}{\partial x} - \frac{\partial y^2}{\partial y} = 0 - 2y = -2y$
因此 $\nabla \times \mathbf{F} = (-2z, -2x, -2y)$。
公式：$\nabla \times \mathbf{F} = (-2z, -2x, -2y)$
提示：旋度计算要仔细，注意偏导顺序和符号，尤其是第二分量公式为 $\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}$。
步骤 3/7
目标：将曲面积分投影到xy平面，化为二重积分
曲面 $S: z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$，法向量向上，其方向余弦为 $(-z_x, -z_y, 1)$，其中 $z_x = -x/z, z_y = -y/z$，故 $(-z_x, -z_y, 1) = (x/z, y/z, 1)$。面积元 $dS = \sqrt{1+z_x^2+z_y^2} \, dxdy$，因此：
$$(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS = (-2z, -2x, -2y) \cdot (x/z, y/z, 1) \, dxdy = \left( -2x - \frac{2xy}{z} - 2y \right) dxdy$$
积分区域 $D$ 为曲线在xy平面上的投影：$x^2+y^2=ax$，即 $(x-a/2)^2 + y^2 = (a/2)^2$ 所围的圆盘。
公式：$I = \iint_D \left( -2x - 2y - \frac{2xy}{z} \right) dxdy$，其中 $z = \sqrt{a^2-x^2-y^2}$
提示：投影时注意曲面方程和法向量方向，确保符号正确。
步骤 4/7
目标：利用对称性简化二重积分
区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，被积函数中 $-2y$ 和 $-\frac{2xy}{z}$ 关于 $y$ 是奇函数，因此这两项在 $D$ 上的积分为零。剩余项为：
$$I = \iint_D (-2x) \, dxdy = -2 \iint_D x \, dxdy$$
圆盘 $D$ 的圆心为 $(a/2, 0)$，半径为 $a/2$，其形心坐标为 $(a/2, 0)$，面积为 $\pi (a/2)^2 = \pi a^2/4$。由形心公式：
$$\iint_D x \, dxdy = \bar{x} \cdot \text{Area}(D) = \frac{a}{2} \cdot \frac{\pi a^2}{4} = \frac{\pi a^3}{8}$$
公式：$\iint_D x \, dxdy = \frac{\pi a^3}{8}$
提示：对称性化简时需确认区域对称性和函数奇偶性，形心公式适用于均匀区域。
步骤 5/7
目标：得出第9题最终结果
代入计算：
$$I = -2 \cdot \frac{\pi a^3}{8} = -\frac{\pi a^3}{4}$$
公式：$I = -\frac{\pi a^3}{4}$
提示：最终结果注意负号，检查计算过程。
步骤 6/7
目标：计算第10题第(1)问的极限
求极限 $\lim_{x \to 0^+} \frac{1-\cos x}{\int_0^x \frac{\ln(1+xy)}{y} \, dy}$。分子等价无穷小：$1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$。处理分母：令 $t = xy$，则 $y = t/x$，$dy = dt/x$，积分限 $y:0\to x$ 对应 $t:0\to x^2$，得：
$$\int_0^x \frac{\ln(1+xy)}{y} \, dy = \int_0^{x^2} \frac{\ln(1+t)}{t/x} \cdot \frac{dt}{x} = \int_0^{x^2} \frac{\ln(1+t)}{t} \, dt$$
当 $t \to 0$ 时，$\frac{\ln(1+t)}{t} \to 1$，故 $\int_0^{x^2} \frac{\ln(1+t)}{t} \, dt \sim \int_0^{x^2} 1 \, dt = x^2$。因此极限为：
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2/2}{x^2} = \frac{1}{2}$$
公式：$\lim_{x \to 0^+} \frac{1-\cos x}{\int_0^x \frac{\ln(1+xy)}{y} \, dy} = \frac{1}{2}$
提示：变量代换时注意积分限的变化，等价无穷小替换需验证条件。
步骤 7/7
目标：计算第10题第(2)问的含参量反常积分
计算 $I(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\sin(xy)}{y e^y} \, dy$。注意到 $y=0$ 处被积函数可去：$\lim_{y\to 0} \frac{\sin(xy)}{y} = x$，故积分收敛。考虑对参数 $x$ 求导（或利用拉普拉斯变换）：令 $I(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\sin(xy)}{y} e^{-y} \, dy$，对 $x$ 求导得：
$$I'(x) = \int_0^{+\infty} \cos(xy) e^{-y} \, dy = \frac{1}{1+x^2}$$
积分得 $I(x) = \arctan x + C$。由 $I(0)=0$ 得 $C=0$，故 $I(x) = \arctan x$。
公式：$\int_0^{+\infty} \frac{\sin(xy)}{y e^y} \, dy = \arctan x$
提示：含参量积分求导需验证一致收敛性，此处可用拉普拉斯变换或直接积分验证。
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