东南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
4．计算 $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{x+2}{e^{x}+e^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：拆分被积函数并利用奇偶性简化积分
将被积函数拆分为两部分：
\[
\frac{x+2}{e^{x}+e^{-x}} = \frac{x}{e^{x}+e^{-x}} + \frac{2}{e^{x}+e^{-x}}
\]
积分区间为对称区间 \([-1,1]\)。
- 第一项 \(\frac{x}{e^{x}+e^{-x}}\)：分子 \(x\) 是奇函数，分母 \(e^{x}+e^{-x}\) 是偶函数，奇函数除以偶函数为奇函数，在对称区间上积分为 \(0\)。
- 第二项 \(\frac{2}{e^{x}+e^{-x}}\)：分子 \(2\) 是常数，分母为偶函数，整体为偶函数，在对称区间上积分等于 \(2\) 倍在 \([0,1]\) 上的积分。
因此原积分化为：
\[
\int_{-1}^{1} \frac{x+2}{e^{x}+e^{-x}} \, dx = 0 + 2 \int_{0}^{1} \frac{2}{e^{x}+e^{-x}} \, dx = 4 \int_{0}^{1} \frac{1}{e^{x}+e^{-x}} \, dx
\]
公式：奇函数在对称区间积分为零；偶函数在对称区间积分等于两倍半区间积分
提示：注意判断奇偶性时，分母 \(e^x+e^{-x}\) 是偶函数，不要误判。
步骤 2/4
目标：利用双曲余弦化简被积函数
由双曲余弦定义：
\[
\cosh x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}
\]
所以
\[
\frac{1}{e^{x}+e^{-x}} = \frac{1}{2\cosh x}
\]
代入积分得：
\[
4 \int_{0}^{1} \frac{1}{e^{x}+e^{-x}} \, dx = 4 \int_{0}^{1} \frac{1}{2\cosh x} \, dx = 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{\cosh x} \, dx
\]
公式：\cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2}
提示：熟悉双曲函数定义可简化表达式。
步骤 3/4
目标：求不定积分 \(\int \frac{1}{\cosh x} \, dx\)
采用换元法：令 \(t = e^x\)，则 \(dx = \frac{dt}{t}\)，且 \(e^x+e^{-x} = t + \frac{1}{t}\)。于是：
\[
\int \frac{1}{\cosh x} \, dx = \int \frac{2}{e^x+e^{-x}} \, dx = \int \frac{2}{t + \frac{1}{t}} \cdot \frac{dt}{t} = \int \frac{2}{t^2+1} \, dt = 2 \arctan t + C
\]
代回 \(t = e^x\) 得：
\[
\int \frac{1}{\cosh x} \, dx = 2 \arctan(e^x) + C
\]
公式：\int \frac{1}{\cosh x} \, dx = 2 \arctan(e^x) + C
提示：换元后注意 \(dx = dt/t\)，化简时小心代数运算。
步骤 4/4
目标：计算定积分并得出最终结果
将不定积分结果代入定积分：
\[
2 \int_{0}^{1} \frac{1}{\cosh x} \, dx = 2 \left[ 2 \arctan(e^x) \right]_{0}^{1} = 4 \left( \arctan(e) - \arctan(1) \right)
\]
已知 \(\arctan(1) = \frac{\pi}{4}\)，所以：
\[
4 \left( \arctan e - \frac{\pi}{4} \right) = 4 \arctan e - \pi
\]
最终结果为：
\[
\boxed{4\arctan e - \pi}
\]
公式：\int_{0}^{1} \frac{1}{\cosh x} \, dx = 2(\arctan e - \frac{\pi}{4})
提示：代入上下限时注意 \(e^0=1\)，\(\arctan(1)=\pi/4\)。
步骤 5/5
目标：代入上下限计算定积分
将不定积分结果代入定积分：
\[
2 \int_{0}^{1} \frac{1}{\cosh x} \, dx = 2 \left[ 2 \arctan(e^x) \right]_{0}^{1} = 4 \left( \arctan(e) - \arctan(1) \right)
\]
已知 \(\arctan(1) = \frac{\pi}{4}\)，所以
\[
4 \left( \arctan e - \frac{\pi}{4} \right) = 4 \arctan e - \pi
\]
公式：牛顿-莱布尼茨公式：\(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\)
提示：注意 \(\arctan(1) = \frac{\pi}{4}\)，不要误记为 \(\frac{\pi}{2}\) 或其他值。
步骤 6/7
目标：化简反三角函数
利用恒等式 $\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$（$x>0$），有 $\arctan e^{-1} = \frac{\pi}{2} - \arctan e$。代入得
\[ \arctan e - \arctan e^{-1} = \arctan e - \left(\frac{\pi}{2} - \arctan e\right) = 2\arctan e - \frac{\pi}{2}. \]
因此
\[ I_2 = 2\left(2\arctan e - \frac{\pi}{2}\right) = 4\arctan e - \pi. \]
公式：$\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$（$x>0$）
提示：注意恒等式成立条件 $x>0$，这里 $e>0$ 满足。
步骤 7/7
目标：合并结果
最终 $I = I_1 + I_2 = 0 + (4\arctan e - \pi) = 4\arctan e - \pi$。
提示：不要忘记 $I_1=0$ 的结果。
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