东南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
7．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0 & , x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，求二阶偏导数 $f_{x y}^{\prime \prime}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求非原点处的一阶偏导数 f_x 和 f_y
当 $(x,y)\neq(0,0)$ 时，$f(x,y)=\frac{x^2 y}{\sqrt{x^2+y^2}}$。将函数写为 $f=x^2 y (x^2+y^2)^{-1/2}$，对 $x$ 求偏导：
$$f_x = 2xy (x^2+y^2)^{-1/2} + x^2 y \cdot \left(-\frac12\right)(x^2+y^2)^{-3/2}\cdot 2x = \frac{2xy}{\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{x^3 y}{(x^2+y^2)^{3/2}}$$
通分得：
$$f_x = \frac{2xy(x^2+y^2)-x^3 y}{(x^2+y^2)^{3/2}} = \frac{x^3 y + 2x y^3}{(x^2+y^2)^{3/2}} = \frac{xy(x^2+2y^2)}{(x^2+y^2)^{3/2}}$$
对 $y$ 求偏导：
$$f_y = x^2 (x^2+y^2)^{-1/2} + x^2 y \cdot \left(-\frac12\right)(x^2+y^2)^{-3/2}\cdot 2y = \frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{x^2 y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}$$
通分得：
$$f_y = \frac{x^2(x^2+y^2)-x^2 y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} = \frac{x^4}{(x^2+y^2)^{3/2}}$$
公式：$f_x = \frac{xy(x^2+2y^2)}{(x^2+y^2)^{3/2}}, \quad f_y = \frac{x^4}{(x^2+y^2)^{3/2}}$
提示：注意使用乘积形式求导，避免复杂的商法则；化简时注意提取公因式。
步骤 2/5
目标：验证原点处一阶偏导数存在并求值
由偏导数定义：
$$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0$$
$$f_y(0,0) = \lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} = \lim_{k\to 0}\frac{0-0}{k}=0$$
所以 $f_x(0,0)=0$，$f_y(0,0)=0$。
公式：$f_x(0,0)=0,\ f_y(0,0)=0$
提示：分段函数在分段点处的偏导必须用定义计算，不能直接代入公式。
步骤 3/5
目标：求非原点处的混合偏导数 f_{xy}
对 $f_x = \frac{xy(x^2+2y^2)}{(x^2+y^2)^{3/2}}$ 关于 $y$ 求偏导。令 $u=xy(x^2+2y^2)=x^3 y+2x y^3$，$v=(x^2+y^2)^{3/2}$。
$$u_y = x^3 + 6x y^2, \quad v_y = \frac{3}{2}(x^2+y^2)^{1/2}\cdot 2y = 3y\sqrt{x^2+y^2}$$
由商法则：
$$f_{xy} = \frac{u_y v - u v_y}{v^2} = \frac{(x^3+6xy^2)(x^2+y^2)^{3/2} - (x^3 y+2x y^3)\cdot 3y\sqrt{x^2+y^2}}{(x^2+y^2)^3}$$
提取 $\sqrt{x^2+y^2}$ 后分子化简为 $\sqrt{x^2+y^2}\cdot (x^5+4x^3 y^2) = x^3(x^2+4y^2)\sqrt{x^2+y^2}$，分母为 $(x^2+y^2)^3$，因此：
$$f_{xy} = \frac{x^3(x^2+4y^2)}{(x^2+y^2)^{5/2}},\quad (x,y)\neq(0,0)$$
公式：$f_{xy} = \frac{x^3(x^2+4y^2)}{(x^2+y^2)^{5/2}}$
提示：求导时注意符号和化简，提取公因式可简化计算。
步骤 4/5
目标：求原点处的混合偏导数 f_{xy}(0,0)
用定义：
$$f_{xy}(0,0) = \lim_{k\to 0}\frac{f_x(0,k)-f_x(0,0)}{k}$$
当 $k\neq 0$ 时，由非原点公式：$f_x(0,k)=\frac{0\cdot k(0+2k^2)}{(0+k^2)^{3/2}}=0$，且 $f_x(0,0)=0$，所以：
$$f_{xy}(0,0) = \lim_{k\to 0}\frac{0-0}{k}=0$$
公式：$f_{xy}(0,0)=0$
提示：混合偏导在原点处仍需用定义计算，注意先求 f_x 在 (0,k) 的值。
步骤 5/5
目标：综合写出最终结果
将非原点处和原点处的表达式合并，得到二阶混合偏导数：
$$f_{xy}''(x,y)=\begin{cases}\displaystyle \frac{x^{3}(x^{2}+4y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{5/2}}, & (x,y)\neq(0,0)\\ 0, & (x,y)=(0,0)\end{cases}$$
公式：$f_{xy}''(x,y)=\begin{cases}\frac{x^{3}(x^{2}+4y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{5/2}},&(x,y)\neq(0,0)\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$
提示：最终答案必须分段表示，注意原点处的值单独给出。
步骤 6/6
目标：写出最终分段表达式
综合非原点和原点处的结果，得到二阶混合偏导数的分段表达式：
\[ f_{xy}''(x,y) = \begin{cases} \dfrac{x^3 (x^2+4y^2)}{(x^2+y^2)^{5/2}}, & (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases} \]
公式：f_{xy}''(x,y) = \begin{cases} \frac{x^3 (x^2+4y^2)}{(x^2+y^2)^{5/2}}, & (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}
提示：最终答案需明确分段，并确认原点处连续性（本题中混合偏导在原点连续，但需验证）。
步骤 7/7
目标：写出最终分段表达式
综合以上，二阶混合偏导 $f_{xy}''(x,y)$ 为：
$$f_{xy}''(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^3(x^2+4y^2)}{(x^2+y^2)^{5/2}}, & x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2+y^2 = 0 \end{array} \right.$$
提示：注意分段函数在原点处单独定义。
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