东南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
12．设 $D=\{(x, y): 0<x<1,0<y<+\infty\}$ ，证明：对任意的 $(x, y) \in D$ ，成立不等式：$\displaystyle y \cdot x^{y} \cdot(1-x)<\frac{1}{e}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：固定 x，将不等式转化为关于 y 的函数最大值问题
对于固定的 $x \in (0,1)$，定义 $f(y) = y \cdot x^{y} \cdot (1-x)$，其中 $y > 0$。由于 $(1-x) > 0$ 为常数，问题转化为求 $g(y) = y \cdot x^{y}$ 的最大值。
公式：$f(y) = (1-x) \cdot g(y)$，$g(y) = y \cdot x^{y}$
提示：注意 $x^y = e^{y \ln x}$，且 $\ln x < 0$，这是求导的关键。
步骤 2/7
目标：对 g(y) 求导并找到极值点
将 $g(y) = y e^{y \ln x}$ 对 $y$ 求导：$g'(y) = e^{y \ln x} + y \cdot (\ln x) e^{y \ln x} = e^{y \ln x} (1 + y \ln x)$。令 $g'(y)=0$，由于 $e^{y \ln x} > 0$，得 $1 + y \ln x = 0$，解得 $y = -\frac{1}{\ln x}$。因为 $\ln x < 0$，该 $y$ 为正，在定义域内。
公式：$y_0 = -\frac{1}{\ln x}$
提示：求导时不要漏掉指数函数的链式法则。
步骤 3/7
目标：计算 g(y) 的最大值
将 $y_0 = -\frac{1}{\ln x}$ 代入 $g(y)$：$g_{\max} = \left(-\frac{1}{\ln x}\right) \cdot x^{-1/\ln x}$。由于 $x^{-1/\ln x} = e^{(-1/\ln x) \ln x} = e^{-1}$，所以 $g_{\max} = -\frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{e}$。于是 $f(y) \leq f_{\max}(x) = (1-x) \cdot \left(-\frac{1}{\ln x}\right) \cdot \frac{1}{e}$。
公式：$f_{\max}(x) = \frac{1}{e} \cdot \frac{1-x}{-\ln x}$
提示：指数化简 $x^{-1/\ln x} = e^{-1}$ 是本题的一个关键技巧。
步骤 4/7
目标：将问题转化为证明关于 x 的函数小于 1
要证明原不等式 $y \cdot x^{y} \cdot (1-x) < \frac{1}{e}$，只需证明对所有 $x \in (0,1)$ 有 $\frac{1-x}{-\ln x} < 1$，因为 $f_{\max}(x) = \frac{1}{e} \cdot \frac{1-x}{-\ln x}$。定义 $h(x) = \frac{1-x}{-\ln x}$，$0 < x < 1$。
公式：$h(x) = \frac{1-x}{-\ln x}$
提示：注意 $\ln x$ 为负，所以 $-\ln x > 0$。
步骤 5/7
目标：分析 h(x) 的单调性和极值
求导：$h'(x) = \frac{(-1)(-\ln x) - (1-x)(-1/x)}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x + \frac{1}{x} - 1}{(\ln x)^2}$。令分子 $\varphi(x) = \ln x + \frac{1}{x} - 1 = 0$。由于 $\varphi'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} = \frac{x-1}{x^2} < 0$（$0
公式：$\varphi(x) = \ln x + \frac{1}{x} - 1$
提示：判断单调性时，注意分母 $(\ln x)^2 > 0$，只需分析分子。
步骤 6/7
目标：计算 h(x) 的最大值并证明小于 1
由 $\varphi(x_0)=0$ 得 $\ln x_0 = 1 - \frac{1}{x_0}$。代入 $h(x)$：$h(x_0) = \frac{1-x_0}{-\ln x_0} = \frac{1-x_0}{-(1 - 1/x_0)} = \frac{1-x_0}{1/x_0 - 1}$。而 $\frac{1}{x_0} - 1 = \frac{1-x_0}{x_0}$，所以 $h(x_0) = \frac{1-x_0}{(1-x_0)/x_0} = x_0$。由于 $x_0 \in (0,1)$，故 $h(x_0) = x_0 < 1$，因此对所有 $x \in (0,1)$ 有 $h(x) \leq x_0 < 1$。
公式：$h(x_0) = x_0 < 1$
提示：利用 $\varphi(x_0)=0$ 进行代数化简是本题的第二个关键技巧。
步骤 7/7
目标：回到原不等式，完成证明
由前几步，$f(y) \leq f_{\max}(x) = \frac{1}{e} \cdot h(x) < \frac{1}{e} \cdot 1 = \frac{1}{e}$。等号成立需要同时满足 $y = -\frac{1}{\ln x}$ 和 $x = x_0$，但此时 $h(x_0)=x_0<1$，故不等式严格成立。因此对任意 $(x,y) \in D$，有 $y \cdot x^{y} \cdot (1-x) < \frac{1}{e}$。
公式：$y \cdot x^{y} \cdot (1-x) < \frac{1}{e}$
提示：注意原不等式是严格小于，因为最大值点无法同时取到使 $h(x)=1$ 的 $x$。
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