东南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
6．计算二重积分： $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y \cos y}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 为直线 $y=x$与抛物线 $x=y^{2}$ 所围成的封闭区域．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定积分区域并画出图形
由直线 $y=x$ 与抛物线 $x=y^2$ 围成封闭区域。解方程组 $y=x$ 和 $x=y^2$ 得 $y=y^2$，即 $y(y-1)=0$，解得 $y=0$ 或 $y=1$，对应 $x=0$ 和 $x=1$，故交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。对于固定的 $y$，$x$ 从左边曲线 $x=y^2$ 到右边曲线 $x=y$，且 $0\le y\le 1$ 时 $y^2\le y$，因此区域可描述为 $D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\; y^2\le x\le y\}$。
公式：交点：$y=y^2$
提示：注意抛物线 $x=y^2$ 开口向右，直线 $y=x$ 过原点，区域在 $y\in[0,1]$ 内。
步骤 2/6
目标：选择积分次序并化为累次积分
被积函数 $\frac{\sin y\cos y}{y}$ 仅依赖于 $y$，故先对 $x$ 积分。累次积分为：
$$\iint_D \frac{\sin y\cos y}{y}\,dx\,dy = \int_{y=0}^1 \int_{x=y^2}^y \frac{\sin y\cos y}{y}\,dx\,dy.$$
公式：$\iint_D f(x,y)\,dx\,dy = \int_0^1 \int_{y^2}^y \frac{\sin y\cos y}{y}\,dx\,dy$
提示：先对 $x$ 积分时，$y$ 视为常数，内层积分直接得到 $(y-y^2)\cdot \frac{\sin y\cos y}{y}$。
步骤 3/6
目标：计算内层积分并化简
内层积分：$\int_{x=y^2}^y \frac{\sin y\cos y}{y}\,dx = \frac{\sin y\cos y}{y} \cdot (y-y^2) = \sin y\cos y\,(1-y)$。于是原积分化为：
$$\int_0^1 \sin y\cos y\,(1-y)\,dy.$$
公式：$\frac{y-y^2}{y}=1-y$
提示：注意 $y>0$ 在区间内，$y=0$ 处极限存在，函数连续。
步骤 4/6
目标：利用三角恒等式简化被积函数
由 $\sin y\cos y = \frac12\sin 2y$，得：
$$\int_0^1 \frac12\sin 2y\,(1-y)\,dy = \frac12\int_0^1 (1-y)\sin 2y\,dy.$$
公式：$\sin y\cos y = \frac12\sin 2y$
提示：恒等式可减少计算量，注意系数 $\frac12$ 不要遗漏。
步骤 5/6
目标：使用分部积分法计算定积分
令 $u=1-y$，$dv=\sin 2y\,dy$，则 $du=-dy$，$v=-\frac12\cos 2y$。分部积分公式 $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ 得：
$$\int_0^1 (1-y)\sin 2y\,dy = \left[(1-y)\cdot\left(-\frac12\cos 2y\right)\right]_0^1 - \int_0^1 \left(-\frac12\cos 2y\right)(-dy).$$
计算边界项：$y=1$ 时值为 $0$，$y=0$ 时值为 $-\frac12$，故边界差为 $0 - (-\frac12) = \frac12$。积分项化简为 $-\frac12\int_0^1 \cos 2y\,dy$。计算 $\int_0^1 \cos 2y\,dy = \left[\frac12\sin 2y\right]_0^1 = \frac12\sin 2$，因此积分项为 $-\frac12\cdot\frac12\sin 2 = -\frac14\sin 2$。所以：
$$\int_0^1 (1-y)\sin 2y\,dy = \frac12 - \frac14\sin 2.$$
公式：$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
提示：注意符号处理：$v\,du = (-\frac12\cos 2y)(-dy) = \frac12\cos 2y\,dy$，前面有负号。
步骤 6/6
目标：乘以系数得到最终结果
原积分 $= \frac12 \left(\frac12 - \frac14\sin 2\right) = \frac14 - \frac18\sin 2$。
公式：$\frac12 \times \frac12 = \frac14$，$\frac12 \times \frac14 = \frac18$
提示：最终结果需化简为最简形式，注意 $\sin 2$ 保留。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
将上一步结果乘以 $\frac{1}{2}$：
$$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \sin 2 \right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \sin 2.$$
提示：注意检查计算，原答案有误，正确结果应为 $\frac{1}{4} + \frac{1}{8} \sin 2$。
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