东南大学 2025年数学分析第4题
📝 题目
4、求函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x \ln 2}-\frac{1}{2^{x}-1}, x \neq 0 \\ \frac{1}{2}, x=0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle x=0$ 的导数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：检查函数在 x=0 处的连续性
计算极限 \(\lim_{x\to 0} f(x)\)，并与 \(f(0)=\frac12\) 比较。将 \(2^x\) 展开为 \(2^x = e^{x\ln 2} = 1 + x\ln 2 + \frac{(x\ln 2)^2}{2} + O(x^3)\)，则 \(2^x-1 = x\ln 2\left(1+\frac{x\ln 2}{2}+O(x^2)\right)\)。取倒数得 \(\frac{1}{2^x-1} = \frac{1}{x\ln 2}\left(1-\frac{x\ln 2}{2}+O(x^2)\right) = \frac{1}{x\ln 2} - \frac12 + O(x)\)。代入 \(f(x)\) 得 \(f(x) = \frac{1}{x\ln 2} - \left(\frac{1}{x\ln 2} - \frac12 + O(x)\right) = \frac12 + O(x)\)，故极限为 \(\frac12\)，与定义一致，函数在 \(x=0\) 处连续。
公式：\lim_{x\to 0} f(x) = \frac12 = f(0)
提示：注意展开时需保留足够阶数，确保差值的极限存在。
步骤 2/5
目标：利用导数定义写出极限表达式
由导数定义 \(f'(0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}\)，代入 \(f(0)=\frac12\) 得 \(f'(0) = \lim_{h\to 0} \frac{ \frac{1}{h\ln 2} - \frac{1}{2^h - 1} - \frac12 }{h}\)。记分子为 \(A(h) = \frac{1}{h\ln 2} - \frac{1}{2^h - 1} - \frac12\)。
公式：f'(0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}
提示：导数定义是求分段函数在分段点导数的基本方法，注意分母是 h 而非 x。
步骤 3/5
目标：对 \(\frac{1}{2^h-1}\) 进行更精确的泰勒展开
将 \(2^h\) 展开到三阶：\(2^h = 1 + h\ln 2 + \frac{(h\ln 2)^2}{2} + \frac{(h\ln 2)^3}{6} + O(h^4)\)。则 \(2^h-1 = h\ln 2\left[1 + \frac{h\ln 2}{2} + \frac{(h\ln 2)^2}{6} + O(h^3)\right]\)。令 \(u = \frac{h\ln 2}{2} + \frac{(h\ln 2)^2}{6} + O(h^3)\)，利用 \(\frac{1}{1+u} = 1 - u + u^2 + O(u^3)\)，计算得 \(\frac{1}{2^h-1} = \frac{1}{h\ln 2}\left(1 - \frac{h\ln 2}{2} + \frac{(h\ln 2)^2}{12} + O(h^3)\right) = \frac{1}{h\ln 2} - \frac12 + \frac{h\ln 2}{12} + O(h^2)\)。
公式：\frac{1}{2^h-1} = \frac{1}{h\ln 2} - \frac12 + \frac{h\ln 2}{12} + O(h^2)
提示：展开到二阶项是因为除以 h 后需要保留常数项，注意合并 \(u^2\) 项时系数的计算。
步骤 4/5
目标：代入分子 A(h) 并化简
将展开式代入 \(A(h)\)：\(A(h) = \frac{1}{h\ln 2} - \left(\frac{1}{h\ln 2} - \frac12 + \frac{h\ln 2}{12} + O(h^2)\right) - \frac12\)。前两项 \(\frac{1}{h\ln 2}\) 抵消，\(-\left(-\frac12\right) - \frac12 = \frac12 - \frac12 = 0\)，剩余 \(A(h) = -\frac{h\ln 2}{12} + O(h^2)\)。
公式：A(h) = -\frac{h\ln 2}{12} + O(h^2)
提示：注意符号处理，展开式中的负号与减去项的结合要仔细。
步骤 5/5
目标：计算极限得到导数值
代入导数定义：\(f'(0) = \lim_{h\to 0} \frac{-\frac{h\ln 2}{12} + O(h^2)}{h} = \lim_{h\to 0} \left(-\frac{\ln 2}{12} + O(h)\right) = -\frac{\ln 2}{12}\)。
公式：f'(0) = -\frac{\ln 2}{12}
提示：极限计算时，\(O(h^2)/h = O(h)\) 趋于 0，只保留常数项。
步骤 6/6
目标：求极限得到导数
差商为：
$$\frac{f(h)-f(0)}{h} = -\frac{\ln 2}{12} + O(h).$$
当 $h \to 0$ 时，$O(h) \to 0$，因此极限为 $-\frac{\ln 2}{12}$。
公式：f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = -\frac{\ln 2}{12}
提示：极限计算时注意高阶无穷小项趋于0。
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