东南大学 2025年数学分析第6题

给定曲线积分 $\oint_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{x^{2}+4 y^{2}}$，其中 $L$ 是圆 $(x-1)^{2}+y^{2}=r^{2}$，取正向（逆时针）。分母 $x^2+4y^2=0$ 仅在原点 $(0,0)$ 处为零，因此原点是被积函数的奇点。圆心为 $(1,0)$，圆心到原点的距离为 $1$。

令 $P = \frac{-y}{x^2+4y^2}$，$Q = \frac{x}{x^2+4y^2}$。计算偏导数： $$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{1\cdot (x^2+4y^2) - x\cdot (2x)}{(x^2+4y^2)^2} = \frac{-x^2+4y^2}{(x^2+4y^2)^2}$$ $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-1\cdot (x^2+4y^2) - (-y)\cdot (8y)}{(x^2+4y^2)^2} = \frac{-x^2+4y^2}{(x^2+4y^2)^2}$$ 因此 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$，在无奇点的区域内积分值为零。

若 $r<1$，原点 $(0,0)$ 在圆 $L$ 的外部，被积函数在 $L$ 所围的闭区域上连续可微，满足格林公式条件。由格林公式： $$\oint_{L} P\,dx+Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy = 0$$ 故积分值为 $0$。

若 $r>1$，原点在 $L$ 内部。取一个充分小的椭圆曲线 $C_\varepsilon$（逆时针方向）包围原点，使得 $C_\varepsilon$ 完全位于 $L$ 内部，且参数方程为： $$x = \varepsilon \cos\theta,\quad y = \frac{\varepsilon}{2}\sin\theta,\quad \theta \in [0,2\pi)$$ 此时在 $C_\varepsilon$ 上，$x^2+4y^2 = \varepsilon^2$ 为常数。

沿 $C_\varepsilon$（逆时针）计算积分： $$dx = -\varepsilon\sin\theta\,d\theta,\quad dy = \frac{\varepsilon}{2}\cos\theta\,d\theta$$ 代入被积表达式： $$\frac{-y\,dx + x\,dy}{x^2+4y^2} = \frac{-\frac{\varepsilon}{2}\sin\theta\cdot(-\varepsilon\sin\theta\,d\theta) + \varepsilon\cos\theta\cdot\frac{\varepsilon}{2}\cos\theta\,d\theta}{\varepsilon^2}$$ 分子化简为 $\frac{\varepsilon^2}{2}(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\,d\theta = \frac{\varepsilon^2}{2}\,d\theta$，除以分母 $\varepsilon^2$ 得 $\frac{1}{2}\,d\theta$。积分一周： $$\oint_{C_\varepsilon} = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}\,d\theta = \pi$$

考虑由大圆 $L$（逆时针）和小椭圆 $C_\varepsilon$（顺时针）围成的复连通区域 $D'$，其边界正向为外逆内顺。在 $D'$ 内无奇点，由格林公式： $$\oint_{L} - \oint_{C_\varepsilon(\text{逆})} = 0$$ 因此 $\oint_{L} = \oint_{C_\varepsilon(\text{逆})} = \pi$。

根据 $r$ 与 $1$ 的大小关系，积分结果为分段函数： $$\oint_{L} \frac{-y \,dx + x\,dy}{x^2+4y^2} = \begin{cases} 0, & r<1, \\ \pi, & r>1. \end{cases}$$ 题目已给定 $r \neq 1$，故无需考虑 $r=1$ 的情况。