东南大学 2025年数学分析第7题
📝 题目
7、求 $\displaystyle f(x, y, z)=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z$ 在条件 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 下的最值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造拉格朗日函数并求偏导
设拉格朗日函数为 $L(x,y,z,\lambda) = x^3+y^3+z^3-3xyz + \lambda(4 - x^2 - y^2 - z^2)$。分别对 $x,y,z,\lambda$ 求偏导并令其为零：
$\frac{\partial L}{\partial x} = 3x^2 - 3yz - 2\lambda x = 0$，即 $3(x^2 - yz) - 2\lambda x = 0$；
$\frac{\partial L}{\partial y} = 3(y^2 - zx) - 2\lambda y = 0$；
$\frac{\partial L}{\partial z} = 3(z^2 - xy) - 2\lambda z = 0$；
$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 + z^2 = 4$。
公式：$L(x,y,z,\lambda) = x^3+y^3+z^3-3xyz + \lambda(4 - x^2 - y^2 - z^2)$
提示：注意偏导计算时不要遗漏系数，尤其是 $\lambda$ 项前的负号。
步骤 2/6
目标：分析对称性，讨论变量相等的情况
方程 (1)(2)(3) 形式对称。先考虑 $x=y=z$ 的情况。代入约束 $x^2+y^2+z^2=4$ 得 $3x^2=4$，解得 $x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$。此时 $f = 3x^3 - 3x^3 = 0$。
公式：$x=y=z=\pm\frac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow f=0$
提示：对称性是简化条件极值问题的常用技巧，优先考虑变量相等或部分相等的情形。
步骤 3/6
目标：讨论两个变量相等且与第三个不等的情况
设 $x=y=t$，$z$ 待定。约束为 $2t^2+z^2=4$。由 (1) 得 $3(t^2 - tz) - 2\lambda t = 0$，若 $t \neq 0$，则 $\lambda = \frac{3(t-z)}{2}$。代入 (3) 得 $3(z^2 - t^2) - 2\lambda z = 0$，化简得 $2z^2 - t^2 - zt = 0$。将 $t^2 = \frac{4-z^2}{2}$ 代入，整理得 $27z^4 - 48z^2 + 16 = 0$。
公式：$2z^2 - t^2 - zt = 0$，$27z^4 - 48z^2 + 16 = 0$
提示：代入消元时注意符号处理，$t$ 可能为负，需结合后续关系确定符号。
步骤 4/6
目标：解方程得到候选极值点
令 $u=z^2$，解 $27u^2 - 48u + 16 = 0$，得 $u = \frac{4}{3}$ 或 $u = \frac{4}{9}$。
- 若 $z^2 = \frac{4}{3}$，则 $t^2 = \frac{4}{3}$，此时 $x=y=z$，已讨论。
- 若 $z^2 = \frac{4}{9}$，则 $t^2 = \frac{16}{9}$。由 $t = \frac{5z^2 - 4}{2z}$ 确定符号：当 $z = \frac{2}{3}$ 时 $t = -\frac{4}{3}$；当 $z = -\frac{2}{3}$ 时 $t = \frac{4}{3}$。
得到两组点：$(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{2}{3})$ 及其排列，$(-\frac{4}{3}, -\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$ 及其排列。
公式：$z^2 = \frac{4}{9}$，$t^2 = \frac{16}{9}$
提示：解二次方程时注意判别式计算，并验证 $t$ 与 $z$ 的符号关系是否一致。
步骤 5/6
目标：计算候选点的函数值
对于 $(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{2}{3})$：
$f = 2\cdot \frac{64}{27} + (-\frac{8}{27}) - 3\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot (-\frac{2}{3}) = \frac{120}{27} + \frac{96}{27} = \frac{216}{27} = 8$。
对于 $(-\frac{4}{3}, -\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$：
由于函数是奇次齐次函数（$f(-x,-y,-z) = -f(x,y,z)$），故 $f = -8$。
公式：$f(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{2}{3}) = 8$，$f(-\frac{4}{3}, -\frac{4}{3}, \frac{2}{3}) = -8$
提示：计算时注意分数运算的准确性，利用奇函数性质可简化计算。
步骤 6/6
目标：确定最值并给出答案
函数 $f$ 在闭球面（紧集）上连续，因此必有最大值和最小值。已得函数值 $0, 8, -8$，比较可知最大值为 $8$，最小值为 $-8$。
公式：$\max f = 8$，$\min f = -8$
提示：紧集上连续函数必有最值，确保没有遗漏其他候选点（如 $t=0$ 的情形需单独验证，但本题中 $t=0$ 不满足约束方程，故无需考虑）。
步骤 7/7
目标：总结最值
综合所有情形，函数在约束条件下的最大值为 $8$，最小值为 $-8$。
公式：$\max f=8,\quad \min f=-8$
提示：由于函数和约束都是对称的，极值点往往出现在对称或部分对称的位置。
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