东南大学 2025年数学分析第9题
📝 题目
9、设 $\displaystyle I(y)=\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos (2 x y) \mathrm{d} x$ ，证明：
（1）$\displaystyle I^{\prime}(y)+2 y I(y)=0$
（2）求 $\displaystyle I(y)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：对参数 y 求导，得到 I'(y) 的表达式
对 $I(y)=\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos (2 x y) \mathrm{d} x$ 关于 $y$ 求导，利用含参积分求导法则（在一致收敛条件下可交换求导与积分顺序），得：
$$I'(y) = \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cdot \frac{\partial}{\partial y} \cos(2xy) \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cdot (-2x \sin(2xy)) \, \mathrm{d}x = -2 \int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \sin(2xy) \, \mathrm{d}x$$
公式：I'(y) = -2 \int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \sin(2xy) \, \mathrm{d}x
提示：注意求导时，余弦函数的导数为 -2x sin(2xy)，不要遗漏负号和系数 2x。
步骤 2/6
目标：对积分使用分部积分法，建立与 I(y) 的联系
令 $u = \sin(2xy)$，$\mathrm{d}v = x e^{-x^{2}} \mathrm{d}x$，则 $\mathrm{d}u = 2y \cos(2xy) \, \mathrm{d}x$，$v = -\frac{1}{2} e^{-x^{2}}$。分部积分得：
$$\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \sin(2xy) \, \mathrm{d}x = \left[ -\frac{1}{2} e^{-x^{2}} \sin(2xy) \right]_{0}^{+\infty} + \frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cdot 2y \cos(2xy) \, \mathrm{d}x$$
当 $x \to +\infty$ 时，$e^{-x^{2}} \to 0$，且 $\sin(2xy)$ 有界，故第一项在无穷远处为 0；在 $x=0$ 处，$\sin(0)=0$，所以第一项整体为 0。于是：
$$\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \sin(2xy) \, \mathrm{d}x = y \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos(2xy) \, \mathrm{d}x = y I(y)$$
公式：\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \sin(2xy) \, \mathrm{d}x = y I(y)
提示：分部积分时，注意选择 u 和 dv 使得积分简化，并正确计算边界项。
步骤 3/6
目标：代入 I'(y) 并整理，得到微分方程
将上一步结果代入 $I'(y) = -2 \int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \sin(2xy) \, \mathrm{d}x$，得：
$$I'(y) = -2 \cdot (y I(y)) = -2y I(y)$$
移项即得：
$$I'(y) + 2y I(y) = 0$$
公式：I'(y) + 2y I(y) = 0
提示：注意符号，最终方程是一阶线性齐次微分方程。
步骤 4/6
目标：解微分方程，得到 I(y) 的通解形式
由 $\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}y} = -2y I$，分离变量得 $\frac{\mathrm{d}I}{I} = -2y \, \mathrm{d}y$，两边积分：
$$\ln |I(y)| = -y^{2} + C$$
所以通解为：
$$I(y) = C_{1} e^{-y^{2}}$$，其中 $C_{1} = e^{C}$ 为任意常数。
公式：I(y) = C_{1} e^{-y^{2}}
提示：分离变量时注意积分常数，指数形式要化简正确。
步骤 5/6
目标：利用初始条件确定常数 C1
令 $y=0$，代入原积分：
$$I(0) = \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos(0) \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \, \mathrm{d}x$$
已知高斯积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^{2}} \, \mathrm{d}x = \sqrt{\pi}$，由被积函数的偶函数性质得：
$$\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \, \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$
因此 $I(0) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$，代入通解 $I(0) = C_{1} e^{0} = C_{1}$，得 $C_{1} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$。
公式：I(0) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}
提示：高斯积分的结果是常用结论，注意从 0 到正无穷是整体的一半。
步骤 6/6
目标：写出 I(y) 的最终表达式
将常数 $C_{1} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 代入通解，得到：
$$I(y) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-y^{2}}$$
公式：I(y) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-y^{2}}
提示：最终结果简洁，注意与微分方程的解一致。
步骤 7/7
目标：写出最终表达式
因此 $I(y) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-y^2}$。
公式：$I(y) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-y^2}$
提示：最终结果简洁，注意与微分方程的解一致。
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