中国人民大学 2026年数学分析第4题

函数 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的函数，在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上定义为分段函数：当 $x \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ 时，$f(x) = \frac{\pi}{2} + x$；当 $x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时，$f(x) = \frac{\pi}{2} - x$。由于周期 $T = \pi$，傅里叶级数的基频角频率为 $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2$，因此三角函数形式为 $\cos(2nx)$ 和 $\sin(2nx)$。

在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上，验证 $f(-x) = f(x)$：若 $x > 0$，则 $f(-x) = \frac{\pi}{2} - x = f(x)$；若 $x < 0$，类似可得。因此 $f(x)$ 是偶函数，傅里叶级数中正弦项系数 $b_n = 0$。

利用偶函数性质，$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(x) \, dx = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \left( \frac{\pi}{2} - x \right) \, dx$。计算积分：$\int_{0}^{\pi/2} \frac{\pi}{2} \, dx = \frac{\pi^2}{4}$，$\int_{0}^{\pi/2} x \, dx = \frac{\pi^2}{8}$，差为 $\frac{\pi^2}{8}$。乘以 $\frac{4}{\pi}$ 得 $a_0 = \frac{\pi}{2}$，因此常数项 $\frac{a_0}{2} = \frac{\pi}{4}$。

由公式 $a_n = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \left( \frac{\pi}{2} - x \right) \cos(2nx) \, dx$。拆分为两部分：第一部分 $2 \int_{0}^{\pi/2} \cos(2nx) \, dx = 0$；第二部分 $-\frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} x \cos(2nx) \, dx$。使用分部积分，令 $u = x$，$dv = \cos(2nx) \, dx$，得 $\int x \cos(2nx) \, dx = \frac{x \sin(2nx)}{2n} + \frac{\cos(2nx)}{4n^2}$。代入上下限 $0$ 到 $\pi/2$，得 $\frac{(-1)^n - 1}{4n^2}$。因此 $a_n = -\frac{4}{\pi} \cdot \frac{(-1)^n - 1}{4n^2} = -\frac{(-1)^n - 1}{\pi n^2}$。当 $n$ 为偶数时，$a_n = 0$；当 $n$ 为奇数时，设 $n = 2k-1$，则 $a_{2k-1} = \frac{2}{\pi (2k-1)^2}$。

由于 $b_n = 0$，傅里叶级数为 $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(2nx)$。代入 $a_0 = \frac{\pi}{2}$ 和 $a_{2k-1} = \frac{2}{\pi (2k-1)^2}$，得 $f(x) = \frac{\pi}{4} + \frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos(2(2k-1)x)}{(2k-1)^2}$，即 $f(x) = \frac{\pi}{4} + \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos((4n-2)x)}{(2n-1)^2}$。

取 $x = 0$，由函数定义得 $f(0) = \frac{\pi}{2}$。代入傅里叶级数：$\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}$。移项得 $\frac{\pi}{4} = \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}$，两边乘以 $\frac{\pi}{2}$ 得 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$。