中国人民大学 2026年数学分析第9题

将区域 $D = \{(x,y,z) \mid x^2+y^2+z^2 \le x\}$ 配方：$x^2 - x + y^2 + z^2 \le 0$ 化为 $(x-\frac12)^2 + y^2 + z^2 \le \frac14$，这是一个球心在 $(\frac12,0,0)$、半径为 $\frac12$ 的球体。原点 $(0,0,0)$ 在球面上。被积函数 $\frac{x^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}$ 在原点附近，$x \sim r$，分母 $\sim r^4$，故被积函数 $\sim \frac{1}{r^2}$，体积元 $\mathrm{d}V = r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$，乘积 $\sim O(1)$，因此积分收敛。

使用球坐标：$x = r\sin\theta\cos\phi$, $y = r\sin\theta\sin\phi$, $z = r\cos\theta$，其中 $r \ge 0$, $\theta \in [0,\pi]$, $\phi \in [0,2\pi)$。区域条件 $x^2+y^2+z^2 \le x$ 化为 $r^2 \le r\sin\theta\cos\phi$，即 $r \le \sin\theta\cos\phi$。由于 $r \ge 0$，需 $\sin\theta\cos\phi \ge 0$，即 $\cos\phi \ge 0$，故 $\phi \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。因此积分区域为：$0 \le r \le \sin\theta\cos\phi$, $\theta \in [0,\pi]$, $\phi \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。

被积函数 $\frac{x^2}{(x^2+y^2+z^2)^2} = \frac{r^2\sin^2\theta\cos^2\phi}{r^4} = \frac{\sin^2\theta\cos^2\phi}{r^2}$。体积元 $\mathrm{d}V = r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$。积分变为： $$I = \int_{\phi=-\pi/2}^{\pi/2} \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{r=0}^{\sin\theta\cos\phi} \frac{\sin^2\theta\cos^2\phi}{r^2} \cdot r^2\sin\theta \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$$ 消去 $r^2$，得： $$I = \int_{\phi=-\pi/2}^{\pi/2} \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{r=0}^{\sin\theta\cos\phi} \sin^3\theta\cos^2\phi \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$$ 对 $r$ 积分得因子 $\sin\theta\cos\phi$，故： $$I = \int_{\phi=-\pi/2}^{\pi/2} \cos^3\phi \,\mathrm{d}\phi \int_{\theta=0}^{\pi} \sin^4\theta \,\mathrm{d}\theta$$

先计算 $\theta$ 积分：$\int_0^\pi \sin^4\theta \,\mathrm{d}\theta$。利用降幂公式：$\sin^4\theta = \left(\frac{1-\cos2\theta}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(1 - 2\cos2\theta + \cos^2 2\theta)$，而 $\cos^2 2\theta = \frac{1+\cos4\theta}{2}$，代入得 $\sin^4\theta = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{1}{8}\cos4\theta$。在 $[0,\pi]$ 上积分，余弦项积分为0，故结果为 $\frac{3}{8}\pi$。 再计算 $\phi$ 积分：$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^3\phi \,\mathrm{d}\phi = 2\int_0^{\pi/2} \cos^3\phi \,\mathrm{d}\phi$。令 $u = \sin\phi$，则 $\mathrm{d}u = \cos\phi\,\mathrm{d}\phi$，$\cos^3\phi\,\mathrm{d}\phi = (1-\sin^2\phi)\cos\phi\,\mathrm{d}\phi = (1-u^2)\,\mathrm{d}u$，积分限 $0$ 到 $1$，得 $\int_0^1 (1-u^2)\,\mathrm{d}u = \left[u - \frac{u^3}{3}\right]_0^1 = \frac{2}{3}$。故 $\phi$ 积分结果为 $2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$。

将两个积分结果相乘：$I = \frac{4}{3} \times \frac{3\pi}{8} = \frac{\pi}{2}$。因此，反常积分收敛，且值为 $\frac{\pi}{2}$。

在原点附近，被积函数在球坐标下为 $\frac{\cos^2\varphi}{r^2}$，体积元含 $r^2$，因此被积表达式为 $O(1)$，无奇性，积分收敛。故反常积分 $I$ 收敛，且值为 $\frac{\pi}{2}$。

计算 $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^3\phi\,\mathrm{d}\phi$：由于偶函数，$= 2\int_0^{\pi/2} \cos^3\phi\,\mathrm{d}\phi$。令 $u=\sin\phi$，则 $\int_0^{\pi/2} \cos^3\phi\,\mathrm{d}\phi = \int_0^1 (1-u^2)\,\mathrm{d}u = \left[u - \frac{u^3}{3}\right]_0^1 = \frac{2}{3}$，故原积分为 $2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$。

因此 $I = \frac{4}{3} \cdot \frac{3\pi}{8} = \frac{\pi}{2}$。故反常积分 $I$ 收敛，且 $I = \frac{\pi}{2}$。