中国人民大学 2026年数学分析第8题
📝 题目
8．（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为定义在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 上的二元函数，在 $D$ 内对 $x$ 和 $y$ 具有直到二阶的连续偏导数，且 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right) \in D$ 是 $\displaystyle f(x, y)$ 的极小值点．证明：
$$
f_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)+2 f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)+f_{y y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \geq 0
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用极小值点的一阶必要条件
已知 \((x_0, y_0)\) 是 \(f\) 在区域 \(D\) 内的极小值点，且 \(f\) 在 \(D\) 内有一阶连续偏导数，因此在该点处必有：
\[ f_x(x_0, y_0) = 0, \quad f_y(x_0, y_0) = 0 \]
公式：f_x(x_0,y_0)=0, f_y(x_0,y_0)=0
提示：注意极小值点不一定要求偏导存在，但题目已给一阶连续偏导，故可应用必要条件。
步骤 2/4
目标：引入特定方向并计算二阶方向导数
考虑方向向量 \(\mathbf{v} = (1,1)\)，其单位向量为 \(\mathbf{u} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)。函数 \(f\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处沿方向 \(\mathbf{u}\) 的二阶方向导数定义为：
\[ \frac{\partial^2 f}{\partial \mathbf{u}^2}(x_0, y_0) = \frac{d^2}{dt^2}\Big|_{t=0} f(x_0 + t u_1, y_0 + t u_2) \]
由链式法则，该二阶方向导数可表示为：
\[ \frac{\partial^2 f}{\partial \mathbf{u}^2} = u_1^2 f_{xx} + 2u_1 u_2 f_{xy} + u_2^2 f_{yy} \]
代入 \(u_1 = u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\)，得：
\[ \frac{\partial^2 f}{\partial \mathbf{u}^2}(x_0, y_0) = \frac{1}{2} f_{xx} + 2 \cdot \frac{1}{2} f_{xy} + \frac{1}{2} f_{yy} = \frac{1}{2}\left( f_{xx} + 2 f_{xy} + f_{yy} \right) \]
公式：\frac{\partial^2 f}{\partial \mathbf{u}^2} = \frac{1}{2}(f_{xx}+2f_{xy}+f_{yy})
提示：注意方向导数的链式法则中交叉项系数为2，且单位向量分量平方和为1。
步骤 3/4
目标：应用极小值点的二阶必要条件
由于 \((x_0, y_0)\) 是极小值点，对于任意方向，沿该方向的一阶方向导数为0，且二阶方向导数必须非负。特别地，沿方向 \(\mathbf{u}\) 有：
\[ \frac{\partial^2 f}{\partial \mathbf{u}^2}(x_0, y_0) \ge 0 \]
代入上一步结果：
\[ \frac{1}{2}\left( f_{xx}(x_0,y_0) + 2 f_{xy}(x_0,y_0) + f_{yy}(x_0,y_0) \right) \ge 0 \]
公式：\frac{1}{2}(f_{xx}+2f_{xy}+f_{yy}) \ge 0
提示：二阶必要条件要求所有方向上的二阶方向导数非负，不能只考虑坐标轴方向。
步骤 4/4
目标：化简得到所需不等式
将上一步的不等式两边同时乘以2，即得：
\[ f_{xx}(x_0,y_0) + 2 f_{xy}(x_0,y_0) + f_{yy}(x_0,y_0) \ge 0 \]
证毕。
公式：f_{xx}+2f_{xy}+f_{yy} \ge 0
提示：乘以正数2不改变不等号方向。
步骤 5/5
目标：总结结论
由以上推导，我们证明了在极小值点 $(x_0, y_0)$ 处，所给不等式成立。证明的核心是沿方向 $(1,1)$ 构造一元函数，并利用一元函数极小值的二阶导数非负的性质。
公式：f_{xx}(x_0, y_0) + 2f_{xy}(x_0, y_0) + f_{yy}(x_0, y_0) \ge 0
提示：该结论可推广到任意方向，但本题只需证明此特定组合。
步骤 6/6
目标：结论
因此，原不等式成立。
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