中国人民大学 2026年数学分析第7题

令 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，则当 $r\to 0$ 时， $$f(r\cos\theta, r\sin\theta) = \frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta + r^4\cos^4\theta}{r^2} = r\cos^2\theta\sin\theta + r^2\cos^4\theta.$$ 由于 $|\cos^2\theta\sin\theta|\leq 1$，$|\cos^4\theta|\leq 1$，故当 $r\to 0$ 时，上式趋于 $0$，与 $\theta$ 无关。因此 $$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0),$$ 所以 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 连续。

由定义： $$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{h^2}{h}=0,$$ $$f_y(0,0) = \lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-0}{k} = \lim_{k\to 0}\frac{0}{k}=0.$$ 故两个一阶偏导数存在且均为 $0$。

可微性要求 $$\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}} = \lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0.$$ 而 $$\frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} = \frac{h^2k+h^4}{(h^2+k^2)^{3/2}}.$$ 取路径 $k=h$，则 $$\frac{h^3+h^4}{(2h^2)^{3/2}} = \frac{h^3+h^4}{2^{3/2}|h|^3} \to \frac{1}{2^{3/2}} \neq 0 \quad (h\to 0^+).$$ 因此极限不为 $0$，$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 不可微。

设 $x(t)=t$, $y(t)=t^2$，则当 $t\neq 0$ 时， $$f(x(t),y(t)) = \frac{t^2\cdot t^2 + t^4}{t^2 + t^4} = \frac{2t^4}{t^2(1+t^2)} = \frac{2t^2}{1+t^2}.$$ 且 $f(0,0)=0$，故该表达式在 $t=0$ 也连续。求导得 $$\frac{d}{dt}f(x(t),y(t)) = \frac{4t(1+t^2)-2t^2\cdot 2t}{(1+t^2)^2} = \frac{4t}{(1+t^2)^2}.$$ 在 $t=0$ 处，导数值为 $0$。

链式法则给出： $$\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))\big|_{t=0} = f_x(0,0)x'(0) + f_y(0,0)y'(0).$$ 已知 $f_x(0,0)=0$, $f_y(0,0)=0$, $x'(0)=1$, $y'(0)=0$，故右边 $=0$。左边已算得为 $0$，因此链式法则成立。

链式法则要求 $f$ 在 $(0,0)$ 可微，但已证明 $f$ 不可微。虽然 $f_x(0,0)=0$, $f_y(0,0)=0$, $x'(0)=1$, $y'(0)=0$，链式法则给出的结果为 $0$，与实际导数相等，但这只是巧合，不能说明链式法则成立。因为可微是链式法则的前提条件，不满足则法则不适用。