中国科学院大学 2025年数学分析第1题
📝 题目
1、计算下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} x^{\frac{1}{1-x}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n^{4}}\left(1+2^{3}+\cdots+n^{3}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别极限类型并取对数
设 $y = x^{\frac{1}{1-x}}$，两边取自然对数得 $\ln y = \frac{1}{1-x} \ln x$。当 $x \to 1$ 时，$\ln x \to 0$，$1-x \to 0$，形成 $\frac{0}{0}$ 型未定式。
公式：\ln y = \frac{\ln x}{1-x}
提示：注意 $1^\infty$ 型未定式常用取对数转化为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型。
步骤 2/5
目标：应用洛必达法则求对数极限
计算 $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{1-x}$，分子分母分别求导：分子导数为 $\frac{1}{x}$，分母导数为 $-1$，得 $\lim_{x \to 1} \frac{1/x}{-1} = -1$。
公式：\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{1-x} = \lim_{x \to 1} \frac{1/x}{-1} = -1
提示：洛必达法则使用前需确认是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，且导数存在。
步骤 3/5
目标：还原原极限
由 $\lim_{x \to 1} \ln y = -1$，得 $\lim_{x \to 1} y = e^{-1} = \frac{1}{e}$。
公式：\lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{1-x}} = e^{-1} = \frac{1}{e}
提示：取对数后极限存在，则原极限为 $e^{\text{该极限}}$。
步骤 4/5
目标：利用立方和公式化简求和
前 $n$ 个自然数的立方和公式：$1^3+2^3+\cdots+n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$。代入极限表达式得 $\frac{1}{n^4} \cdot \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^2 (n+1)^2}{4n^4} = \frac{(n+1)^2}{4n^2}$。
公式：1^3+2^3+\cdots+n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2
提示：熟记常用求和公式可简化计算。
步骤 5/5
目标：化简并求极限
化简 $\frac{(n+1)^2}{4n^2} = \frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{n}\right)^2$，当 $n \to +\infty$ 时，$\left(1+\frac{1}{n}\right)^2 \to 1$，故极限为 $\frac{1}{4}$。
公式：\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^4}\left(1+2^3+\cdots+n^3\right) = \frac{1}{4}
提示：注意 $n \to \infty$ 时 $\frac{1}{n} \to 0$，平方后仍趋于0。
步骤 6/6
目标：求极限得到最终结果
当 $n \to +\infty$ 时，$\left(1+\frac{1}{n}\right)^2 \to 1$，因此极限为 $\displaystyle \frac{1}{4}$。
公式：$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^{4}}\left(1+2^{3}+\cdots+n^{3}\right) = \frac{1}{4}$
提示：注意 $n$ 趋于无穷大，$\frac{1}{n}$ 趋于0，平方后仍趋于0。
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