📝 中国科学院大学 2025年数学分析真题

1、计算下列极限．

（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} x^{\frac{1}{1-x}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n^{4}}\left(1+2^{3}+\cdots+n^{3}\right)$ ．

2、用闭区间套定理证明 $\displaystyle [0,1]$ 是不可数集．

3、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，证明：

$$
\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x) f(x)\right| \mathrm{d} x \leq \frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x
$$

4、求二重积分 $\displaystyle I=\iint_{D}(x+y) \sin (x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中

$$
D=\{(x, y): 0 \leq x+y \leq \pi, 0 \leq x-y \leq \pi\}
$$

5、求曲面积分 $\displaystyle I=\iint_{\Sigma}\left(y^{2}-x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(z^{2}-y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(x^{2}-z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle \Sigma=\left\{(x, y, z): z=1-x^{2}-y^{2}, z \geq 0\right\}$ ，方向取外侧．

6、应该如何把给定在区间 $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ 上的可积或绝对可积函数 $\displaystyle f(x)$ 延拓到区间 （ $\displaystyle -\pi, \pi)$ ，使得它的傅里叶级数展开式具有以下形式：

$$
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{2 n-1} \sin ((2 n-1) x),(-\pi<x<\pi)
$$

7、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0, \pi]$ 上连续可积，且 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=\pi$ ．求系数 $\displaystyle c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}$ ，使得 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}\left[f(x)-\sum_{k=1}^{n} c_{k} \cos (k x)\right]^{2} \mathrm{~d} x$ 最小，并求

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^{n} c_{k} \cos (k x)=F(x)
$$

的表达式．

8、设函数 $\displaystyle f(x)$ 三次连续可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=1, f^{\prime \prime}(0)=0, f^{\prime \prime \prime}(0)=-1$ ．设 $\displaystyle f\left(a_{n}\right)=a_{n+1}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} n\left(a_{n}\right)^{2}$ ．

9、若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调且收敛于 0 ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos (n x)$ 在 $\displaystyle [a, 2 \pi-a] (0<a<\pi)$ 上一致收敛。

10、求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) x^{n}$ 的收玫域与和函数．