中国科学院大学 2025年数学分析第2题

假设 $[0,1]$ 是可数集，则存在一个一一对应，将 $[0,1]$ 中的所有数排列成一个序列：$x_1, x_2, x_3, \dots, x_n, \dots$，即 $[0,1] = \{x_1, x_2, x_3, \dots\}$。

取第一个闭区间 $[a_1, b_1] = [0, 1]$。将 $[0,1]$ 三等分，得到三个闭子区间：$[0, \frac13]$、$[\frac13, \frac23]$、$[\frac23, 1]$。由于 $x_1$ 最多只能属于其中一个区间，因此至少存在一个子区间不包含 $x_1$。选择其中一个不包含 $x_1$ 的闭子区间，记为 $[a_2, b_2]$，满足：$[a_2, b_2] \subseteq [0,1]$，长度 $b_2 - a_2 = \frac13$，且 $x_1 \notin [a_2, b_2]$。

假设已经构造了闭区间 $[a_n, b_n]$，长度为 $\frac{1}{3^{n-1}}$，且 $x_1, x_2, \dots, x_{n-1}$ 都不在这个区间内。将 $[a_n, b_n]$ 三等分，得到三个长度均为 $\frac{1}{3^n}$ 的闭子区间。由于 $x_n$ 最多只能属于其中一个，所以至少有一个子区间不包含 $x_n$。选择其中一个不包含 $x_n$ 的闭子区间，记为 $[a_{n+1}, b_{n+1}]$。于是得到：$[a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]$，长度 $b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{1}{3^n}$，且 $x_n \notin [a_{n+1}, b_{n+1}]$。

由归纳法，得到一列闭区间 $\{[a_n, b_n]\}$，满足：对每个 $n$，$[a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]$，且区间长度趋于 $0$：$b_n - a_n = \frac{1}{3^{n-1}} \to 0 \ (n \to \infty)$。根据闭区间套定理，存在唯一实数 $\xi$ 属于所有这些闭区间，即 $\xi \in \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_n, b_n]$。

由于每个 $[a_n, b_n]$ 都包含 $\xi$，且根据构造，$[a_{n+1}, b_{n+1}]$ 不包含 $x_n$，因此对任意 $n$，有 $\xi \neq x_n$。这意味着 $\xi$ 是 $[0,1]$ 中的数，但不在列举的序列 $\{x_1, x_2, \dots\}$ 中，这与假设 $[0,1]$ 的所有元素都被列在这个序列中矛盾。

因此假设不成立，$[0,1]$ 不是可数集，即 $[0,1]$ 是不可数集。

因此假设不成立，$[0,1]$ 不是可数集，即它是不可数集。