中国科学院大学 2025年数学分析第10题
📝 题目
10、求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) x^{n}$ 的收玫域与和函数．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确级数形式并定义调和数
题目所给级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) x^{n}$。记第 $n$ 个调和数为 $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$，则级数可简写为 $\sum_{n=1}^{\infty} H_n x^n$。
公式：$H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$
提示：注意 $H_n$ 是调和级数的部分和，当 $n$ 很大时，$H_n \sim \ln n + \gamma$，其中 $\gamma$ 为欧拉常数。
步骤 2/6
目标：求收敛半径
对于幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$，其中 $a_n = H_n$。利用 $H_n \sim \ln n$，有 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{H_n} = 1$，因此收敛半径 $R = 1$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{H_n} = 1 \Rightarrow R = 1$
提示：也可用比值审敛法：$\lim_{n \to \infty} \frac{H_{n+1}}{H_n} = 1$，同样得到 $R=1$。
步骤 3/6
目标：判断端点收敛性
当 $x=1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} H_n$，由于 $H_n \to \infty$，通项不趋于0，级数发散。当 $x=-1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n H_n$，虽然交错，但 $H_n$ 不趋于0，不满足莱布尼茨判别法条件，故发散。因此收敛域为开区间 $(-1, 1)$。
公式：无
提示：端点判断必须单独进行，不能仅凭收敛半径下结论。
步骤 4/6
目标：利用交换求和次序推导和函数
设 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} H_n x^n$，$|x|<1$。将 $H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ 代入，得 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} x^n$。交换求和次序：先对 $k$ 求和，再对 $n$ 求和，即 $S(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \sum_{n=k}^{\infty} x^n$。
公式：$S(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \sum_{n=k}^{\infty} x^n$
提示：交换求和次序时，需注意内层求和的下标从 $n=k$ 开始，因为当 $n
步骤 5/6
目标：计算内层级数并化简
当 $|x|<1$ 时，几何级数求和：$\sum_{n=k}^{\infty} x^n = \frac{x^k}{1-x}$。代入得 $S(x) = \frac{1}{1-x} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k}$。而 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k} = -\ln(1-x)$，这是经典的对数级数展开。
公式：$\sum_{n=k}^{\infty} x^n = \frac{x^k}{1-x}$，$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k} = -\ln(1-x)$
提示：注意 $\ln(1-x)$ 的展开式成立条件为 $|x|<1$，与收敛域一致。
步骤 6/6
目标：得出和函数并总结
因此 $S(x) = -\frac{\ln(1-x)}{1-x}$，$|x|<1$。验证：当 $x=0$ 时，$S(0)=0$，级数也为0；展开 $ -\frac{\ln(1-x)}{1-x}$ 的麦克劳林级数，系数恰好为 $H_n$。
公式：$S(x) = -\frac{\ln(1-x)}{1-x}$
提示：和函数在 $x=1$ 处无定义，因为分母为0且对数发散，与收敛域一致。
步骤 7/7
目标：总结收敛域与和函数
收敛域为开区间 $(-1,1)$，和函数为 $S(x) = -\frac{\ln(1-x)}{1-x}$。
公式：$S(x) = -\frac{\ln(1-x)}{1-x}, \quad x \in (-1,1)$
提示：端点处发散，因此不能包含端点。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。