中国科学院大学 2025年数学分析第9题
📝 题目
9、若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调且收敛于 0 ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos (n x)$ 在 $\displaystyle [a, 2 \pi-a] (0<a<\pi)$ 上一致收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件与目标
已知数列 $\{a_n\}$ 单调且收敛于 $0$，考虑级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n \cos(nx)$，区间为 $[a, 2\pi - a]$，其中 $0 < a < \pi$。需要证明该级数在此区间上一致收敛。
公式：\sum_{n=1}^\infty a_n \cos(nx)
提示：注意区间端点 $a$ 和 $2\pi-a$ 均不包含 $0$ 和 $2\pi$，从而避免分母为零的情况。
步骤 2/6
目标：选择判别法并设定函数
采用狄利克雷判别法。令 $b_n(x) = \cos(nx)$，$c_n = a_n$。由于 $a_n$ 单调趋于 $0$ 且与 $x$ 无关，只需验证部分和 $S_n(x) = \sum_{k=1}^n \cos(kx)$ 在区间 $[a, 2\pi-a]$ 上一致有界。
公式：S_n(x) = \sum_{k=1}^n \cos(kx)
提示：狄利克雷判别法要求 $c_n$ 单调趋于 $0$，且部分和一致有界。
步骤 3/6
目标：推导余弦部分和的公式
利用三角恒等式：
\[
\sum_{k=1}^n \cos(kx) = \frac{\sin\left(\frac{nx}{2}\right) \cos\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}
\]
因此有绝对值估计：
\[
\left|\sum_{k=1}^n \cos(kx)\right| \le \frac{1}{|\sin(x/2)|}
\]
公式：\left|\sum_{k=1}^n \cos(kx)\right| \le \frac{1}{|\sin(x/2)|}
提示：分子绝对值不超过 $1$，故不等式成立。
步骤 4/6
目标：估计分母的下界
当 $x \in [a, 2\pi - a]$ 时，$x/2 \in [a/2, \pi - a/2]$。正弦函数在 $[0, \pi]$ 上非负，且在 $[0, \pi/2]$ 递增，$[\pi/2, \pi]$ 递减，最小值在边界 $x/2 = a/2$ 或 $x/2 = \pi - a/2$ 处取得，且 $\sin(a/2) = \sin(\pi - a/2)$。因此
\[
|\sin(x/2)| \ge \sin(a/2) > 0
\]
从而
\[
\left|\sum_{k=1}^n \cos(kx)\right| \le \frac{1}{\sin(a/2)}, \quad \forall x \in [a, 2\pi-a], \forall n
\]
即部分和一致有界。
公式：\sup_{x\in[a,2\pi-a]}\left|\sum_{k=1}^n \cos(kx)\right| \le \frac{1}{\sin(a/2)}
提示：注意 $a>0$ 保证分母不为零，且下界与 $n$ 和 $x$ 无关。
步骤 5/6
目标：应用狄利克雷判别法
由前两步，部分和 $\sum_{k=1}^n \cos(kx)$ 在 $[a, 2\pi-a]$ 上一致有界，且 $a_n$ 单调趋于 $0$（与 $x$ 无关），根据狄利克雷判别法，级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n \cos(nx)$ 在 $[a, 2\pi-a]$ 上一致收敛。
公式：\text{狄利克雷判别法}
提示：确保 $a_n$ 的单调性不依赖于 $x$，这是判别法适用的关键。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx)$ 在 $[a, 2\pi-a]\ (0
公式：\sum_{n=1}^\infty a_n \cos(nx) \text{ 一致收敛}
提示：结论成立依赖于 $a>0$ 以保证区间不包含使分母为零的点。
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