中国科学院大学 2025年数学分析第8题
📝 题目
8、设函数 $\displaystyle f(x)$ 三次连续可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=1, f^{\prime \prime}(0)=0, f^{\prime \prime \prime}(0)=-1$ ．设 $\displaystyle f\left(a_{n}\right)=a_{n+1}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} n\left(a_{n}\right)^{2}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与已知条件
已知函数 $f(x)$ 三次连续可微，且 $f'(0)=1$, $f''(0)=0$, $f'''(0)=-1$。数列满足递推 $f(a_n)=a_{n+1}$，且 $\lim_{n\to\infty} a_n=0$。要求极限 $\lim_{n\to\infty} n a_n^2$。由于 $a_n\to 0$，可在 $0$ 附近对 $f$ 作泰勒展开。
公式：f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+o(x^3)
提示：注意由数列极限为0可推出 $f(0)=0$，否则递推会矛盾。
步骤 2/6
目标：泰勒展开并确定 $f(0)$
由 $a_n\to 0$ 及递推 $a_{n+1}=f(a_n)$，若 $f(0)\neq 0$，则 $a_{n+1}\to f(0)\neq 0$，与 $a_n\to 0$ 矛盾，故 $f(0)=0$。代入已知导数值：$f(x)=0+1\cdot x+\frac{0}{2}x^2+\frac{-1}{6}x^3+o(x^3)=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$。
公式：f(x)=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)
提示：泰勒展开时注意余项是 $o(x^3)$，因为三阶可微。
步骤 3/6
目标：写出递推关系的渐近形式
由 $f(a_n)=a_{n+1}$ 得 $a_{n+1}=a_n-\frac{a_n^3}{6}+o(a_n^3)$。当 $n$ 很大时，$a_n$ 很小，可忽略高阶小量分析主要变化。
公式：a_{n+1}=a_n-\frac{a_n^3}{6}+o(a_n^3)
提示：注意 $o(a_n^3)$ 表示比 $a_n^3$ 更高阶的无穷小。
步骤 4/6
目标：引入倒数变换分析衰减速度
设 $b_n=\frac{1}{a_n^2}$。由 $a_{n+1}=a_n\left(1-\frac{a_n^2}{6}+o(a_n^2)\right)$，平方得 $a_{n+1}^2=a_n^2\left(1-\frac{a_n^2}{3}+o(a_n^2)\right)$。取倒数并展开：$\frac{1}{a_{n+1}^2}=\frac{1}{a_n^2}\cdot\frac{1}{1-\frac{a_n^2}{3}+o(a_n^2)}=\frac{1}{a_n^2}\left(1+\frac{a_n^2}{3}+o(a_n^2)\right)=\frac{1}{a_n^2}+\frac{1}{3}+o(1)$。
公式：b_{n+1}=b_n+\frac{1}{3}+o(1)
提示：展开 $\frac{1}{1-u}$ 时注意 $u\to 0$，保留到一阶。
步骤 5/6
目标：累加求 $b_n$ 的渐近行为
由 $b_{n+1}-b_n=\frac{1}{3}+\varepsilon_n$，其中 $\varepsilon_n\to 0$。从 $k=1$ 到 $n-1$ 累加得 $b_n-b_1=\frac{n-1}{3}+\sum_{k=1}^{n-1}\varepsilon_k$。由于 $\varepsilon_k\to 0$，前 $n$ 项平均趋于 $0$，故 $b_n\sim \frac{n}{3}$，即 $\frac{1}{a_n^2}\sim \frac{n}{3}$。
公式：b_n\sim \frac{n}{3} \quad\Rightarrow\quad a_n^2\sim \frac{3}{n}
提示：累加时注意 $b_1$ 是常数，不影响渐近阶。
步骤 6/6
目标：计算所求极限
由 $a_n^2\sim \frac{3}{n}$ 得 $n a_n^2\to 3$，故 $\lim_{n\to\infty} n a_n^2 = 3$。
公式：\lim_{n\to\infty} n a_n^2 = 3
提示：极限结果与初始值 $a_1$ 无关，只依赖于导数条件。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。