中国科学院大学 2025年数学分析第7题

题目要求在区间 $[0, \pi]$ 上，用 $\cos(kx)$ 的线性组合 $\sum_{k=1}^n c_k \cos(kx)$ 来逼近函数 $f(x)$，使得平方误差积分 $\int_0^\pi [f(x) - \sum_{k=1}^n c_k \cos(kx)]^2 dx$ 最小。这属于函数空间中的最小二乘逼近问题，最优系数由投影公式给出。

在区间 $[0, \pi]$ 上，函数族 $\{\cos(kx)\}_{k=1}^\infty$ 是正交的。计算内积：对于 $m, n \ge 1$，有 \[ \int_0^\pi \cos(mx) \cos(nx) dx = \begin{cases} 0, & m \neq n, \\ \frac{\pi}{2}, & m = n. \end{cases} \] 这个正交性是最小二乘解能直接写出的关键。

根据最小二乘理论，最优系数 $c_k$ 是 $f(x)$ 在基函数 $\cos(kx)$ 上的投影系数，即 \[ c_k = \frac{\langle f, \cos(kx) \rangle}{\langle \cos(kx), \cos(kx) \rangle} = \frac{\int_0^\pi f(x) \cos(kx) dx}{\int_0^\pi \cos^2(kx) dx}. \] 代入分母 $\pi/2$，得到 \[ c_k = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos(kx) dx, \quad k = 1, 2, \dots, n. \] 这些系数使得积分达到最小值。

当 $n \to +\infty$ 时，$\sum_{k=1}^n c_k \cos(kx)$ 趋于 $f(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上的完整余弦级数展开（不含常数项）。为了找出这个极限的表达式，考虑将 $f(x)$ 偶延拓到 $[-\pi, \pi]$，其傅里叶级数只含余弦项： \[ f_{\text{even}}(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty a_k \cos(kx), \] 其中 $a_0/2 = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi f(x) dx = 1$（由已知条件 $\int_0^\pi f(x) dx = \pi$），且 $a_k = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x) \cos(kx) dx = c_k$。因此，在 $[0,\pi]$ 上，$f(x)$ 的傅里叶级数展开为 \[ f(x) = 1 + \sum_{k=1}^\infty c_k \cos(kx). \] 于是 \[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n c_k \cos(kx) = f(x) - 1. \]

综合以上步骤，得到系数 $c_k$ 的表达式以及极限 $F(x)$ 的表达式。注意 $F(x)$ 是 $n \to \infty$ 时部分和的极限函数。

傅里叶余弦级数展开为 $f(x) \sim 1 + \sum_{k=1}^\infty c_k \cos(kx)$，因此 $\sum_{k=1}^\infty c_k \cos(kx) = f(x) - 1$。故 $F(x) = f(x) - 1$。