中国科学院大学 2025年数学分析第6题

在区间 $(-\pi, \pi)$ 上，函数的傅里叶级数一般形式为： $$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$$ 其中系数为： $$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$$ 题目要求展开式只含奇次正弦项 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{2n-1} \sin((2n-1)x)$，因此必须满足： - 所有 $a_n = 0$（包括 $a_0=0$） - 所有偶数 $n$ 对应的 $b_n = 0$，即 $b_{2k}=0$

要使所有 $a_n=0$，一个经典方法是让延拓后的函数 $f(x)$ 在 $(-\pi, \pi)$ 上是奇函数。因为如果 $f$ 是奇函数，则 $f(x)\cos(nx)$ 是奇函数，在对称区间上积分为零，从而 $a_n=0$。因此，我们首先将 $f(x)$ 奇延拓到 $(0, \frac{\pi}{2})$：对于 $0 < x < \frac{\pi}{2}$，令 $f(x) = -f(-x)$，其中 $-x \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$ 是已知的。

即使函数是奇函数，其正弦级数一般包含所有正整数 $n$ 的项。要只保留奇次项，需要函数满足半周期反对称性：$f(x+\pi) = -f(x)$。这个条件迫使 $b_{2k}=0$，因为通过变量替换 $t = x+\pi$ 可证明 $b_{2k} = -b_{2k}$，从而为零。因此，我们利用此性质将函数从 $(0, \frac{\pi}{2})$ 延拓到 $(\frac{\pi}{2}, \pi)$：对于 $\frac{\pi}{2} < x < \pi$，令 $f(x) = -f(x-\pi)$，其中 $x-\pi \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$ 是已知的。

利用奇函数性质，将函数从 $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ 延拓到 $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$：对于 $-\pi < x < -\frac{\pi}{2}$，令 $f(x) = -f(-x)$，其中 $-x \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ 已在第三步中定义。至此，我们完成了 $f(x)$ 在 $(-\pi, \pi)$ 上的完整定义，且同时满足奇函数和半周期反对称性。

经过上述延拓，函数 $f(x)$ 在 $(-\pi, \pi)$ 上满足： - 奇函数：$f(-x) = -f(x)$，因此所有 $a_n = 0$。 - 半周期反对称：$f(x+\pi) = -f(x)$，因此 $b_{2k}=0$，只保留 $b_{2n-1}$。 从而傅里叶级数展开式为： $$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_{2n-1} \sin((2n-1)x), \quad -\pi < x < \pi$$ 这正是题目要求的形式。

构造的函数满足：(1) 奇函数 $f(-x)=-f(x)$，故 $a_n=0$；(2) 反周期 $f(x+\pi)=-f(x)$，故 $b_{2n}=0$。因此傅里叶级数仅含 $\sin((2n-1)x)$ 项，符合题目要求。

延拓后的函数在 $(-\pi,\pi)$ 上满足： 1. 奇函数：$f(-x)=-f(x)$，因此所有余弦项系数 $a_n=0$； 2. 关于 $x=\frac{\pi}{2}$ 对称：$f(\pi-x)=f(x)$，因此偶数正弦项系数 $b_{2n}=0$。 故傅里叶级数仅含奇次正弦项 $\sin((2n-1)x)$。

最终延拓方法： 1. 奇延拓：$f(x)=-f(-x)$，$0

公式：\text{延拓规则如上}

提示：延拓顺序不可颠倒，需先奇延拓再对称延拓。