中国科学院大学 2025年数学分析第5题
📝 题目
5、求曲面积分 $\displaystyle I=\iint_{\Sigma}\left(y^{2}-x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(z^{2}-y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(x^{2}-z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle \Sigma=\left\{(x, y, z): z=1-x^{2}-y^{2}, z \geq 0\right\}$ ，方向取外侧．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确曲面与方向
曲面由 $z = 1 - x^2 - y^2$，$z \ge 0$ 给出，这是一个开口向下的旋转抛物面，顶点在 $(0,0,1)$，与 $xy$ 平面相交于圆 $x^2 + y^2 = 1$。题目要求取外侧，由于曲面不封闭，此处外侧指法向量指向 $z$ 轴正方向一侧（即上侧）。
公式：z = 1 - x^2 - y^2,\quad z \ge 0
提示：注意区分封闭曲面与开曲面的外侧含义，这里的外侧是相对于曲面所围区域而言，但缺少底面，故理解为上侧。
步骤 2/5
目标：构造封闭曲面并应用高斯公式
添加底面 $\Sigma_1: z=0,\ x^2+y^2\le 1$，取下侧（因为封闭区域外侧在底面朝下）。记 $P = y^2 - x,\ Q = z^2 - y,\ R = x^2 - z$，计算散度：
$$
\frac{\partial P}{\partial x} = -1,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = -1,\quad \frac{\partial R}{\partial z} = -1
$$
故 $\nabla \cdot (P,Q,R) = -3$。由高斯公式：
$$
\iint_{\Sigma \cup \Sigma_1} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_{\Omega} (-3)\,dV
$$
其中 $\Omega$ 为抛物面与底面所围区域。
公式：\nabla \cdot (P,Q,R) = -3
提示：高斯公式要求曲面封闭且方向为外侧，添加底面时注意方向要与封闭区域的外侧一致。
步骤 3/5
目标：计算封闭曲面积分（体积积分）
用柱坐标计算体积：$x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta,\ z = z$，区域 $0 \le \theta \le 2\pi,\ 0 \le r \le 1,\ 0 \le z \le 1 - r^2$。
$$
V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^{1-r^2} r\,dz\,dr\,d\theta = 2\pi \int_0^1 r(1-r^2)\,dr = 2\pi \left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_0^1 = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}
$$
故封闭曲面积分为 $-3 \cdot \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2}$。
公式：\iiint_{\Omega} (-3)\,dV = -3 \cdot \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2}
提示：柱坐标下体积元为 $r\,dz\,dr\,d\theta$，注意积分限的确定。
步骤 4/5
目标：计算底面的曲面积分
底面 $\Sigma_1: z=0$，取下侧。由于 $dz=0$，$P\,dy\,dz$ 和 $Q\,dz\,dx$ 均为零。剩下 $R\,dx\,dy = (x^2 - z)\,dx\,dy = x^2\,dx\,dy$。取下侧时 $dx\,dy$ 的符号与上侧相反，故：
$$
\iint_{\Sigma_1} R\,dx\,dy = -\iint_{x^2+y^2\le 1} x^2\,dx\,dy
$$
用极坐标计算：
$$
\iint_{x^2+y^2\le 1} x^2\,dx\,dy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r^2\cos^2\theta)\, r\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi} \cos^2\theta\,d\theta \cdot \int_0^1 r^3\,dr = \pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{4}
$$
所以底面的贡献为 $-\frac{\pi}{4}$。
公式：\iint_{\Sigma_1} R\,dx\,dy = -\frac{\pi}{4}
提示：第二类曲面积分中，方向改变会导致符号变化，底面取下侧时 $dx\,dy$ 前取负号。
步骤 5/5
目标：求解原曲面积分
由封闭曲面积分等于原曲面与底面之和：
$$
\iint_{\Sigma} + \iint_{\Sigma_1} = -\frac{3\pi}{2}
$$
代入底面结果：
$$
\iint_{\Sigma} = -\frac{3\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = -\frac{6\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4}
$$
故原曲面积分为 $-\dfrac{5\pi}{4}$。
公式：\iint_{\Sigma} = -\frac{5\pi}{4}
提示：注意移项时的符号处理，避免计算错误。
步骤 6/6
目标：得到原曲面积分 I
原积分 $I = \iint_{\Sigma} = \iint_{\Sigma \cup \Sigma_2} - \iint_{\Sigma_2} = \left(-\frac{3\pi}{2}\right) - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = -\frac{6\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4}$。
公式：$I = -\frac{5\pi}{4}$
提示：注意减去底面积分时，要减去负值，相当于加上正值。
步骤 7/7
目标：相减得到原曲面积分
由 $\iint_{\Sigma\cup\Sigma_1} = \iint_{\Sigma} + \iint_{\Sigma_1}$，得 $\iint_{\Sigma} = \iint_{\Sigma\cup\Sigma_1} - \iint_{\Sigma_1} = -\frac{3\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4}$。
提示：注意减去补平面上的积分时，符号要小心。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。