中国科学院大学 2025年数学分析第4题
📝 题目
4、求二重积分 $\displaystyle I=\iint_{D}(x+y) \sin (x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
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D=\{(x, y): 0 \leq x+y \leq \pi, 0 \leq x-y \leq \pi\}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：变量替换，简化积分区域和被积函数
令 $u = x + y$, $v = x - y$，反解得 $x = \frac{u+v}{2}$, $y = \frac{u-v}{2}$。计算雅可比行列式：$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac12 & \frac12 \\ \frac12 & -\frac12 \end{vmatrix} = -\frac12$，取绝对值得 $\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| = \frac12$，因此 $\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \frac12 \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$。
公式：$\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \frac12 \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$
提示：注意雅可比行列式的计算要仔细，符号取绝对值。
步骤 2/5
目标：变换积分区域
原区域 $D = \{(x,y): 0 \leq x+y \leq \pi, 0 \leq x-y \leq \pi\}$ 变换为 $0 \leq u \leq \pi$, $0 \leq v \leq \pi$，即新区域为 $u$-$v$ 平面上的正方形 $[0,\pi] \times [0,\pi]$。
公式：$D' = \{(u,v): 0 \leq u \leq \pi, 0 \leq v \leq \pi\}$
提示：变量替换后，积分区域边界要一一对应，不要遗漏。
步骤 3/5
目标：变换被积函数并写出新积分
被积函数 $(x+y)\sin(x-y) = u \sin v$，面积元 $\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \frac12 \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$，因此积分化为 $I = \iint_{[0,\pi]\times[0,\pi]} u \sin v \cdot \frac12 \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v = \frac12 \int_0^\pi u \,\mathrm{d}u \int_0^\pi \sin v \,\mathrm{d}v$。
公式：$I = \frac12 \int_0^\pi u \,\mathrm{d}u \int_0^\pi \sin v \,\mathrm{d}v$
提示：二重积分化为两个定积分乘积时，注意积分限是否独立，这里 $u$ 和 $v$ 的积分限相互独立。
步骤 4/5
目标：计算两个定积分
计算 $\int_0^\pi u \,\mathrm{d}u = \left.\frac{u^2}{2}\right|_0^\pi = \frac{\pi^2}{2}$；计算 $\int_0^\pi \sin v \,\mathrm{d}v = [-\cos v]_0^\pi = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = (-(-1)) - (-1) = 1+1 = 2$。
公式：$\int_0^\pi u \,\mathrm{d}u = \frac{\pi^2}{2}$, $\int_0^\pi \sin v \,\mathrm{d}v = 2$
提示：计算 $\int \sin v \,\mathrm{d}v$ 时注意原函数为 $-\cos v$，代入上下限要小心符号。
步骤 5/5
目标：相乘得到最终结果
将两个积分结果代入：$I = \frac12 \cdot \frac{\pi^2}{2} \cdot 2 = \frac12 \cdot \pi^2 = \frac{\pi^2}{2}$。
公式：$I = \frac{\pi^2}{2}$
提示：最后化简时注意约分，避免计算错误。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
代入得：
$$I = \frac12 \cdot \frac{\pi^2}{2} \cdot 2 = \frac12 \cdot \pi^2 = \frac{\pi^2}{2}$$
公式：$I = \frac{\pi^2}{2}$
提示：最终结果化简即可，注意系数相乘。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
因此 $I = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{2} \cdot 2 = \frac{\pi^2}{2}$。
提示：计算时注意约分。
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