中国科学院大学 2025年数学分析第3题
📝 题目
3、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，证明：
$$
\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x) f(x)\right| \mathrm{d} x \leq \frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析不等式结构，尝试基本不等式
要证明 $\int_0^1 |f'(x)f(x)|\,dx \le \frac12 \int_0^1 |f'(x)|^2\,dx$。由基本不等式 $ab \le \frac12(a^2+b^2)$，令 $a=|f'(x)|$，$b=|f(x)|$，得 $|f'(x)f(x)| \le \frac12(|f'(x)|^2+|f(x)|^2)$，积分得 $\int_0^1 |f'(x)f(x)|\,dx \le \frac12\int_0^1|f'(x)|^2\,dx + \frac12\int_0^1|f(x)|^2\,dx$。
公式：|f'(x)f(x)| \le \frac12(|f'(x)|^2+|f(x)|^2)
提示：注意基本不等式放缩后多出一项 $\int_0^1|f(x)|^2\,dx$，需要进一步控制。
步骤 2/6
目标：利用 f(0)=0 和柯西-施瓦茨不等式估计 |f(x)|
由 $f(0)=0$ 得 $f(x)=\int_0^x f'(t)\,dt$，于是 $|f(x)| \le \int_0^x |f'(t)|\,dt$。应用柯西-施瓦茨不等式：$|f(x)| \le \left(\int_0^x 1^2\,dt\right)^{1/2}\left(\int_0^x |f'(t)|^2\,dt\right)^{1/2} = \sqrt{x}\left(\int_0^x |f'(t)|^2\,dt\right)^{1/2}$。平方得 $|f(x)|^2 \le x\int_0^x |f'(t)|^2\,dt$。
公式：|f(x)|^2 \le x\int_0^x |f'(t)|^2\,dt
提示：注意 $f(0)=0$ 是应用微积分基本定理的前提。
步骤 3/6
目标：对 |f(x)|^2 的积分进行估计
计算 $\int_0^1 |f(x)|^2\,dx \le \int_0^1 \left[x\int_0^x |f'(t)|^2\,dt\right]dx$。交换积分次序（区域 $0\le t\le x\le 1$）：原式 $= \int_{t=0}^1 |f'(t)|^2\left(\int_{x=t}^1 x\,dx\right)dt = \int_0^1 |f'(t)|^2\cdot\frac12(1-t^2)\,dt \le \frac12\int_0^1 |f'(t)|^2\,dt$。
公式：\int_0^1 |f(x)|^2\,dx \le \frac12\int_0^1 |f'(t)|^2\,dt
提示：交换积分次序时注意积分限的变换，$\int_{x=t}^1 x\,dx = \frac12(1-t^2)$。
步骤 4/6
目标：代回第一步的不等式，得到较松的界
将 $\int_0^1 |f(x)|^2\,dx \le \frac12\int_0^1 |f'(x)|^2\,dx$ 代入第一步结果：$\int_0^1 |f'(x)f(x)|\,dx \le \frac12\int_0^1 |f'(x)|^2\,dx + \frac12\cdot\frac12\int_0^1 |f'(x)|^2\,dx = \frac34\int_0^1 |f'(x)|^2\,dx$。这比目标 $\frac12$ 大，说明放缩不够紧。
公式：\int_0^1 |f'(x)f(x)|\,dx \le \frac34\int_0^1 |f'(x)|^2\,dx
提示：这个结果虽然正确但不够强，需要更精确的方法。
步骤 5/6
目标：改用更精确的放缩：引入辅助函数 F(x)
由 $f(x)=\int_0^x f'(t)\,dt$，得 $|f(x)| \le \int_0^x |f'(t)|\,dt$。令 $F(x)=\int_0^x |f'(t)|\,dt$，则 $F'(x)=|f'(x)|$，且 $|f(x)f'(x)| \le |f'(x)|\int_0^x |f'(t)|\,dt = F(x)F'(x)$。
公式：|f(x)f'(x)| \le F(x)F'(x),\quad F(x)=\int_0^x |f'(t)|\,dt
提示：注意 $F(x)$ 是单调递增的非负函数，$F(0)=0$。
步骤 6/6
目标：对 F(x)F'(x) 积分并应用柯西-施瓦茨
积分得 $\int_0^1 |f(x)f'(x)|\,dx \le \int_0^1 F(x)F'(x)\,dx = \frac12[F(1)^2 - F(0)^2] = \frac12\left(\int_0^1 |f'(t)|\,dt\right)^2$。再由柯西-施瓦茨：$\left(\int_0^1 |f'(t)|\,dt\right)^2 \le \int_0^1 1^2\,dt \cdot \int_0^1 |f'(t)|^2\,dt = \int_0^1 |f'(t)|^2\,dt$。因此 $\int_0^1 |f(x)f'(x)|\,dx \le \frac12\int_0^1 |f'(t)|^2\,dt$，即得证。
公式：\int_0^1 |f(x)f'(x)|\,dx \le \frac12\left(\int_0^1 |f'(t)|\,dt\right)^2 \le \frac12\int_0^1 |f'(t)|^2\,dt
提示：注意 $\int_0^1 F(x)F'(x)\,dx = \frac12 F(1)^2$ 是因为 $F(0)=0$，且 $F$ 可微。
步骤 7/7
目标：利用AM-GM不等式得到最终结果
令 $A = \int_0^1 g(x) \, dx$，$B = g(1)$，则不等式右边为 $\sqrt{(B-A)A}$。由AM-GM不等式，$\sqrt{(B-A)A} \leq \frac{B}{2}$，即 $\int_0^1 |f(x)f'(x)| \, dx \leq \frac{1}{2} g(1) = \frac{1}{2} \int_0^1 |f'(x)|^2 \, dx$。
公式：$\sqrt{(B-A)A} \leq \frac{B}{2}$
提示：注意AM-GM不等式：$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$，这里取$a=B-A$，$b=A$。
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