中国科学院大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}+k}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析求和式的结构，估计极限趋势
求和式为 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}+k}$。当 $n$ 很大时，分母中 $n^2$ 占主导，$k$ 最大为 $n$，每一项约等于 $\frac{1}{n^2}$，共有 $n$ 项，因此和约等于 $n \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n} \to 0$。这提示极限可能为 $0$，但需要严格证明。
公式：\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}+k} \approx \frac{1}{n}
提示：注意不要直接认为每一项是 $\frac{1}{n^2}$ 就忽略求和，要结合项数 $n$ 一起估计。
步骤 2/6
目标：利用不等式进行放缩，为夹逼准则做准备
由于 $k$ 的取值范围是 $1 \le k \le n$，因此分母满足 $n^2 + 1 \le n^2 + k \le n^2 + n$。取倒数后不等号方向反转，得到 $\frac{1}{n^2 + n} \le \frac{1}{n^2 + k} \le \frac{1}{n^2 + 1}$。
公式：\frac{1}{n^2 + n} \le \frac{1}{n^2 + k} \le \frac{1}{n^2 + 1}
提示：取倒数时注意不等号方向改变，这是常见易错点。
步骤 3/6
目标：对不等式求和，得到夹逼形式
对 $k=1$ 到 $n$ 求和，左边和右边都是常数项，因此 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^2 + n} = \frac{n}{n^2 + n}$，$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^2 + 1} = \frac{n}{n^2 + 1}$。于是有 $\frac{n}{n^2 + n} \le \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^2 + k} \le \frac{n}{n^2 + 1}$。
公式：\frac{n}{n^2 + n} \le \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^2 + k} \le \frac{n}{n^2 + 1}
提示：求和时注意每一项的放缩是统一的，不要对不同的 $k$ 使用不同的放缩。
步骤 4/6
目标：化简左右两边的表达式
左边：$\frac{n}{n^2 + n} = \frac{n}{n(n+1)} = \frac{1}{n+1}$。右边：$\frac{n}{n^2 + 1}$ 保持原形式。
公式：\frac{n}{n^2 + n} = \frac{1}{n+1}
提示：化简时注意因式分解，$n^2 + n = n(n+1)$。
步骤 5/6
目标：计算左右两边的极限
当 $n \to \infty$ 时，左边 $\frac{1}{n+1} \to 0$，右边 $\frac{n}{n^2 + 1} = \frac{1}{n + \frac{1}{n}} \to 0$。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2+1} = 0
提示：计算 $\frac{n}{n^2+1}$ 的极限时，可分子分母同除以 $n$，得到 $\frac{1}{n + \frac{1}{n}}$，更直观。
步骤 6/6
目标：应用夹逼准则得出极限值
由夹逼准则，若 $a_n \le b_n \le c_n$ 且 $\lim a_n = \lim c_n = L$，则 $\lim b_n = L$。这里 $a_n = \frac{1}{n+1}$，$c_n = \frac{n}{n^2+1}$，两者极限均为 $0$，因此原和式的极限为 $0$。
公式：\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^2 + k} = 0
提示：夹逼准则要求两边极限相等，这里两边极限都是 $0$，满足条件。
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