📝 中国科学院大学 2026年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}+k}$ ．

2．设 $\displaystyle x_{0} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，且 $x_{n}=\sin x_{n-1}(n=1,2, \cdots)$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}, \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}^{2}$ ．

3．设 $\displaystyle f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}$ ，求 $f^{(n)}(0)$ ．

4．设 $y=f(x)$ 是 $e^{x}+x y=e$ 在 $(0,1)$ 点附近确定的隐函数，求 $f^{\prime \prime}(0)$ ．

5．求 $\displaystyle z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 被柱面 $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2 x y$ 所截下的面积．

5．求曲面积分

$$
\iint_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$

其中 $\displaystyle \Sigma$ 为上半椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(z \geq 0)$ ，取上侧．

6．设 $\displaystyle P(x, y), Q(x, y)$ 存在连续的偏导数，且对任意以 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2}$ 为圆心以 $\displaystyle r>0$ 为半径的上半圆周 $\displaystyle L: x=x_{0}+r \cos \theta, y=y_{0}+r \sin \theta, \theta \in[0, \pi]$ ，都有

$$
\int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=0
$$

证明 $\displaystyle P(x, y)=\frac{\partial Q}{\partial x}(x, y) \equiv 0$ ．

7．求积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos (a x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

8．已知 $\displaystyle F_{n}=\int_{a}^{\pi}\left(\frac{\sin \frac{x-a}{2}}{\sin \frac{x+a}{2}}\right)^{n} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle 0<a<\pi$ ，证明：

$$
F_{n}=\frac{2 \sin a}{n-1} F_{n-1}-F_{n-2}
$$

9．证明：

$$
\iint_{D} f(m \sin \theta \cos \varphi+n \sin \theta \sin \varphi+p \cos \theta) \sin \theta \mathrm{d} \theta \mathrm{~d} \varphi=2 \pi \int_{0}^{1} f\left(u \sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}\right) \mathrm{d} u
$$

其中 $\displaystyle D: \theta \in[0, \pi], \varphi \in[0,2 \pi]$ ．