中国科学院大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．设 $\displaystyle f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}$ ，求 $f^{(n)}(0)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简函数形式
利用对数性质，将函数 $f(x) = \ln \frac{1+x}{1-x}$ 分解为两个对数之差：
$$ f(x) = \ln(1+x) - \ln(1-x) $$
公式：$$\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$$
提示：注意定义域为 $|x|<1$，确保对数有意义。
步骤 2/5
目标：写出两个对数的泰勒展开式
回忆常见函数的麦克劳林展开：
$$ \ln(1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k, \quad |x|<1 $$
$$ \ln(1-x) = -\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k}, \quad |x|<1 $$
代入得：
$$ f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k} $$
公式：$$\ln(1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k$$
提示：注意 $\ln(1-x)$ 的展开中负号的处理，不要遗漏。
步骤 3/5
目标：合并级数并分析系数
合并两个级数：
$$ f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}+1}{k} x^k $$
当 $k$ 为奇数时，设 $k=2m-1$，则 $(-1)^{k-1}=1$，系数为 $\frac{2}{2m-1}$；
当 $k$ 为偶数时，设 $k=2m$，则 $(-1)^{k-1}=-1$，系数为 $0$。
因此展开式只有奇数项：
$$ f(x) = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{2}{2m-1} x^{2m-1} $$
公式：$$f(x) = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{2}{2m-1} x^{2m-1}$$
提示：奇偶性分析是关键，注意 $(-1)^{k-1}$ 在 $k$ 为奇偶时的取值不同。
步骤 4/5
目标：利用泰勒公式与导数关系
函数 $f(x)$ 的泰勒展开为：
$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n $$
对比系数：
- 当 $n$ 为偶数时，$x^n$ 项系数为 $0$，故 $f^{(n)}(0)=0$。
- 当 $n$ 为奇数时，设 $n=2m-1$，则 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{2}{n}$，解得 $f^{(n)}(0) = 2 \cdot n! / n = 2 \cdot (n-1)!$。
公式：$$\frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{2}{n} \quad (n\text{为奇数})$$
提示：注意 $n$ 从 $1$ 开始，$n=0$ 时 $f(0)=0$，但题目通常求 $n\ge1$。
步骤 5/5
目标：写出最终结果
综合以上讨论，得到 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数：
$$ f^{(n)}(0) = \begin{cases} 0, & n \text{为偶数} \\ 2\,(n-1)!, & n \text{为奇数} \end{cases} $$
公式：$$f^{(n)}(0)=\begin{cases}0, & n\text{为偶数}\\2\,(n-1)!, & n\text{为奇数}\end{cases}$$
提示：结果可以写成统一形式：$f^{(n)}(0)=2\,(n-1)!\cdot\frac{1-(-1)^n}{2}$，但分段形式更直观。
步骤 6/6
目标：对比麦克劳林级数系数求n阶导数
麦克劳林级数 $f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$。对比系数：当 $n$ 为偶数时，$x^n$ 系数为 $0$，故 $f^{(n)}(0)=0$；当 $n$ 为奇数时，设 $n=2k+1$，则 $\frac{f^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}=\frac{2}{2k+1}$，解得 $f^{(2k+1)}(0)=2\cdot(2k)!$。
公式：$f^{(n)}(0)=\begin{cases}0, & n\text{为偶数}\\2\cdot(n-1)!, & n\text{为奇数}\end{cases}$
提示：注意 $n$ 为奇数时 $(2k)!=(n-1)!$。
步骤 7/7
目标：写出最终结果
因此，$f^{(n)}(0)=\begin{cases} 2\,(n-1)!, & n \text{为奇数},\\ 0, & n \text{为偶数}. \end{cases}$
公式：$f^{(n)}(0)=\begin{cases} 2\,(n-1)!, & n\text{为奇数},\\ 0, & n\text{为偶数}. \end{cases}$
提示：结果简洁，注意 $n$ 为正整数。
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