中国科学院大学 2026年数学分析第0题

曲面为旋转抛物面 $z = \frac12 (x^2 + y^2)$，柱面方程为 $(x^2 + y^2)^2 = 2xy$。将柱面方程化为极坐标：令 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$，则 $x^2 + y^2 = r^2$，代入得 $r^4 = 2 r^2 \cos\theta \sin\theta = r^2 \sin 2\theta$。当 $r \neq 0$ 时，除以 $r^2$ 得 $r^2 = \sin 2\theta$。因此柱面在 $xy$ 平面上的投影区域由 $r^2 = \sin 2\theta$ 围成，且要求 $\sin 2\theta \ge 0$，即 $\theta \in [0, \pi/2] \cup [\pi, 3\pi/2]$。由对称性，只需计算第一象限部分再乘以2。

曲面 $z = f(x,y)$ 的面积公式为 $A = \iint_D \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} \, dx\,dy$。这里 $f(x,y) = \frac12 (x^2 + y^2)$，则 $f_x = x, f_y = y$，所以 $\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} = \sqrt{1 + x^2 + y^2} = \sqrt{1 + r^2}$。面积微元在极坐标下为 $r\,dr\,d\theta$，因此 $A = \iint_D \sqrt{1 + r^2} \, r\,dr\,d\theta$，其中 $D$ 为 $0 \le r \le \sqrt{\sin 2\theta}$，$\theta \in [0, \pi/2] \cup [\pi, 3\pi/2]$。

先考虑 $\theta \in [0, \pi/2]$ 部分。对固定 $\theta$，计算 $\int_{0}^{\sqrt{\sin 2\theta}} \sqrt{1 + r^2} \, r\,dr$。令 $u = 1 + r^2$，则 $du = 2r\,dr$，即 $r\,dr = du/2$。当 $r=0$ 时 $u=1$，$r=\sqrt{\sin 2\theta}$ 时 $u = 1 + \sin 2\theta$。积分化为 $\frac12 \int_{1}^{1+\sin 2\theta} u^{1/2}\,du = \frac12 \cdot \frac23 [u^{3/2}]_{1}^{1+\sin 2\theta} = \frac13 [(1+\sin 2\theta)^{3/2} - 1]$。

第一象限部分的面积 $A_1 = \int_{0}^{\pi/2} \frac13 [(1+\sin 2\theta)^{3/2} - 1]\,d\theta$。令 $t = 2\theta$，则 $d\theta = dt/2$，$\theta$ 从 $0$ 到 $\pi/2$ 对应 $t$ 从 $0$ 到 $\pi$。于是 $A_1 = \frac13 \cdot \frac12 \int_{0}^{\pi} [(1+\sin t)^{3/2} - 1]\,dt = \frac16 \int_{0}^{\pi} (1+\sin t)^{3/2}\,dt - \frac{\pi}{6}$。利用半角公式 $1+\sin t = (\sin\frac{t}{2} + \cos\frac{t}{2})^2$，在 $t \in [0,\pi]$ 时 $\sin\frac{t}{2} + \cos\frac{t}{2} \ge 0$，故 $(1+\sin t)^{3/2} = (\sin\frac{t}{2} + \cos\frac{t}{2})^3$。再令 $u = t/2$，则 $dt = 2\,du$，$t$ 从 $0$ 到 $\pi$ 对应 $u$ 从 $0$ 到 $\pi/2$，积分变为 $\int_{0}^{\pi} (1+\sin t)^{3/2}\,dt = 2\int_{0}^{\pi/2} (\sin u + \cos u)^3\,du$。

展开 $(\sin u + \cos u)^3 = \sin^3 u + 3\sin^2 u \cos u + 3\sin u \cos^2 u + \cos^3 u$。在 $[0, \pi/2]$ 上分别积分：$\int_0^{\pi/2} \sin^3 u\,du = \int_0^{\pi/2} (1-\cos^2 u)\sin u\,du = [-\cos u + \frac{\cos^3 u}{3}]_0^{\pi/2} = \frac23$；同理 $\int_0^{\pi/2} \cos^3 u\,du = \frac23$。$\int_0^{\pi/2} \sin^2 u \cos u\,du = [\frac{\sin^3 u}{3}]_0^{\pi/2} = \frac13$；同理 $\int_0^{\pi/2} \sin u \cos^2 u\,du = \frac13$。因此 $\int_0^{\pi/2} (\sin u + \cos u)^3\,du = \frac23 + 3\cdot\frac13 + 3\cdot\frac13 + \frac23 = \frac{10}{3}$。于是 $\int_{0}^{\pi} (1+\sin t)^{3/2}\,dt = 2 \cdot \frac{10}{3} = \frac{20}{3}$。

将 $\int_{0}^{\pi} (1+\sin t)^{3/2}\,dt = \frac{20}{3}$ 代入 $A_1$ 表达式：$A_1 = \frac16 \cdot \frac{20}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{20}{18} - \frac{\pi}{6} = \frac{10}{9} - \frac{\pi}{6}$。由于 $\theta \in [\pi, 3\pi/2]$ 部分与第一象限对称且面积相同，故总面积 $A = 2A_1 = \frac{20}{9} - \frac{\pi}{3}$。

将 $\int_{0}^{\pi/2} (1 + \sin 2\theta)^{3/2} d\theta = \frac{10}{3}$ 代入 $S = \frac{2}{3} \left( \frac{10}{3} - \frac{\pi}{2} \right)$，计算得 $S = \frac{20}{9} - \frac{\pi}{3}$。

将 $\int_{0}^{\pi/2} (1+\sin 2\theta)^{3/2} d\theta = \frac{10}{3}$ 代入 $S = \frac{4}{3} \cdot \frac{10}{3} - \frac{2\pi}{3} = \frac{40}{9} - \frac{2\pi}{3}$。