中国科学院大学 2026年数学分析第5题
📝 题目
5．求曲面积分
$$
\iint_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\displaystyle \Sigma$ 为上半椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(z \geq 0)$ ，取上侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确积分形式和曲面方向
题目给出的第二类曲面积分为：
$$\iint_{\Sigma} x^{3} \, dy\,dz + y^{3} \, dz\,dx + z^{3} \, dx\,dy$$
其中 $\Sigma$ 是上半椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\ (z\ge 0)$，取上侧（法向量指向 $z$ 轴正方向）。
公式：$$\iint_{\Sigma} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy$$
提示：注意第二类曲面积分中 $dy\,dz$、$dz\,dx$、$dx\,dy$ 分别对应投影到 $yz$、$zx$、$xy$ 平面，方向由曲面的侧决定。
步骤 2/6
目标：补底面构造封闭曲面，应用高斯公式
上半椭球面不封闭，补上底面 $\Sigma_2$：$z=0$，$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$，取下侧（使封闭曲面取外侧）。设 $\Sigma_1$ 为原上半椭球面（上侧），则 $\Sigma_1\cup\Sigma_2$ 构成封闭曲面。由高斯公式：
$$\iint_{\Sigma_1\cup\Sigma_2} P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iiint_V \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) dV$$
其中 $P=x^3,\ Q=y^3,\ R=z^3$，散度为 $3x^2+3y^2+3z^2$，$V$ 是上半椭球体。
公式：$$\iint_{\partial V} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV$$
提示：高斯公式要求封闭曲面取外侧，底面必须取下侧才能与上半椭球面的上侧组成外侧。
步骤 3/6
目标：计算封闭曲面积分对应的三重积分
需计算 $\iiint_V 3(x^2+y^2+z^2)\,dV$，其中 $V$ 为上半椭球体。采用广义球坐标变换：
$$x = a r \sin\theta \cos\phi,\quad y = b r \sin\theta \sin\phi,\quad z = c r \cos\theta$$
雅可比行列式为 $abc\, r^2 \sin\theta$，积分区域：$0\le r\le 1,\ 0\le\theta\le \pi/2,\ 0\le\phi\le 2\pi$。
被积函数 $x^2+y^2+z^2 = a^2 r^2 \sin^2\theta\cos^2\phi + b^2 r^2 \sin^2\theta\sin^2\phi + c^2 r^2 \cos^2\theta$。
三重积分化为：
$$3\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi/2} d\theta \int_0^1 (a^2\sin^2\theta\cos^2\phi + b^2\sin^2\theta\sin^2\phi + c^2\cos^2\theta)\cdot abc\, r^2\sin\theta \cdot r^2 dr$$
先对 $r$ 积分：$\int_0^1 r^4 dr = \frac{1}{5}$，得：
$$\frac{3abc}{5} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi/2} \left[ a^2\sin^2\theta\cos^2\phi + b^2\sin^2\theta\sin^2\phi + c^2\cos^2\theta \right] \sin\theta\, d\theta$$
公式：$$dV = abc\, r^2 \sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi$$
提示：广义球坐标变换中，$r$ 的幂次容易出错，注意 $x^2+y^2+z^2$ 贡献 $r^2$，$dV$ 贡献 $r^2$，总 $r^4$。
步骤 4/6
目标：计算角度部分的积分
先对 $\phi$ 积分：
$$\int_0^{2\pi} \cos^2\phi\, d\phi = \pi,\quad \int_0^{2\pi} \sin^2\phi\, d\phi = \pi,\quad \int_0^{2\pi} 1\, d\phi = 2\pi$$
括号内积分后为：$\pi(a^2+b^2)\sin^2\theta + 2\pi c^2\cos^2\theta$。
整体变为：
$$\frac{3abc\pi}{5} \int_0^{\pi/2} \left[ (a^2+b^2)\sin^2\theta + 2c^2\cos^2\theta \right] \sin\theta\, d\theta$$
计算两个 $\theta$ 积分：
$$I_1 = \int_0^{\pi/2} \sin^3\theta\, d\theta = \frac{2}{3},\quad I_2 = \int_0^{\pi/2} \cos^2\theta\sin\theta\, d\theta = \frac{1}{3}$$
因此：
$$(a^2+b^2)\cdot\frac{2}{3} + 2c^2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)$$
公式：$$\int_0^{\pi/2} \sin^3\theta\, d\theta = \frac{2}{3},\quad \int_0^{\pi/2} \cos^2\theta\sin\theta\, d\theta = \frac{1}{3}$$
提示：计算 $\sin^3\theta$ 积分时可用换元 $u=\cos\theta$，注意积分限变化。
步骤 5/6
目标：得到封闭曲面总积分
将角度积分结果代入：
$$\frac{3abc\pi}{5} \cdot \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2) = \frac{2abc\pi}{5}(a^2+b^2+c^2)$$
此即封闭曲面 $\Sigma_1\cup\Sigma_2$ 上的曲面积分值。
公式：$$\iint_{\Sigma_1\cup\Sigma_2} = \frac{2abc\pi}{5}(a^2+b^2+c^2)$$
提示：注意系数化简，$3$ 与 $\frac{2}{3}$ 相乘得 $2$。
步骤 6/6
目标：计算底面积分并得到原积分结果
底面 $\Sigma_2$：$z=0$，取下侧。由于 $z=0$，$dz=0$，$x^3\,dy\,dz=0$，$y^3\,dz\,dx=0$，$z^3\,dx\,dy=0$，故底面积分为 $0$。
由封闭曲面积分等于上半椭球面（上侧）积分加上底面（下侧）积分，得：
$$\iint_{\Sigma_1} x^3\,dy\,dz+y^3\,dz\,dx+z^3\,dx\,dy = \frac{2abc\pi}{5}(a^2+b^2+c^2)$$
公式：$$\iint_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y = \frac{2abc\pi}{5}(a^2+b^2+c^2)$$
提示：底面 $z=0$ 时 $z^3=0$，且 $dz=0$ 导致另外两项也为 $0$，不要遗漏。
步骤 7/7
目标：得出原曲面积分结果
由于补充底面后总积分等于高斯公式结果，而底面积分为0，所以原曲面积分等于高斯公式计算的三重积分值：
$$
\iint_{\Sigma} x^3\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y^3\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z^3\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac{2\pi abc}{5}(a^2+b^2+c^2)
$$
公式：$$\boxed{\dfrac{2\pi abc}{5}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$$
提示：最终结果需化简，注意系数不要遗漏。
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