中国科学院大学 2026年数学分析第6题
📝 题目
6．设 $\displaystyle P(x, y), Q(x, y)$ 存在连续的偏导数，且对任意以 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2}$ 为圆心以 $\displaystyle r>0$ 为半径的上半圆周 $\displaystyle L: x=x_{0}+r \cos \theta, y=y_{0}+r \sin \theta, \theta \in[0, \pi]$ ，都有
$$
\int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=0
$$
证明 $\displaystyle P(x, y)=\frac{\partial Q}{\partial x}(x, y) \equiv 0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将曲线积分条件转化为参数积分方程
给定上半圆周参数化：$x = x_0 + r\cos\theta$, $y = y_0 + r\sin\theta$, $\theta\in[0,\pi]$，则 $dx = -r\sin\theta\,d\theta$, $dy = r\cos\theta\,d\theta$。代入曲线积分得：
$$
\int_L P\,dx + Q\,dy = \int_0^\pi \big[P(x_0+r\cos\theta, y_0+r\sin\theta)(-r\sin\theta) + Q(x_0+r\cos\theta, y_0+r\sin\theta)(r\cos\theta)\big] d\theta = 0.
$$
约去 $r>0$，得到对任意 $x_0,y_0,r>0$ 有：
$$
\int_0^\pi \big[ -P(x_0+r\cos\theta, y_0+r\sin\theta)\sin\theta + Q(x_0+r\cos\theta, y_0+r\sin\theta)\cos\theta \big] d\theta = 0. \tag{1}
$$
公式：\int_0^\pi \big[ -P\sin\theta + Q\cos\theta \big] d\theta = 0
提示：注意参数化时 $\theta$ 从 $0$ 到 $\pi$，$dx,dy$ 的表达式不要遗漏负号。
步骤 2/5
目标：对参数 $r$ 求导得到新的恒等式
由于 (1) 对所有 $r>0$ 成立，可对 $r$ 求导。记被积函数为 $F(\theta; x_0,y_0,r)$，则 $\frac{d}{dr}\int_0^\pi F\,d\theta = \int_0^\pi \frac{\partial F}{\partial r}\,d\theta = 0$。计算偏导：
$$
\frac{\partial}{\partial r}\big[ -P\sin\theta + Q\cos\theta \big] = -\sin\theta (P_x\cos\theta + P_y\sin\theta) + \cos\theta (Q_x\cos\theta + Q_y\sin\theta).
$$
因此得到：
$$
\int_0^\pi \big[ -P_x\sin\theta\cos\theta - P_y\sin^2\theta + Q_x\cos^2\theta + Q_y\sin\theta\cos\theta \big] d\theta = 0. \tag{2}
$$
其中偏导数均在点 $(x_0+r\cos\theta, y_0+r\sin\theta)$ 处取值。
公式：\frac{\partial}{\partial r} \big[ -P\sin\theta + Q\cos\theta \big] = -\sin\theta (P_x\cos\theta + P_y\sin\theta) + \cos\theta (Q_x\cos\theta + Q_y\sin\theta)
提示：求导时注意链式法则，$P$ 和 $Q$ 是复合函数。
步骤 3/5
目标：取极限 $r \to 0^+$ 得到 $Q_x = P_y$
由于 $P,Q$ 连续可偏导，令 $r \to 0^+$，则点 $(x_0+r\cos\theta, y_0+r\sin\theta) \to (x_0,y_0)$，偏导数值趋于常数。于是 (2) 变为：
$$
\int_0^\pi \big[ -P_x(x_0,y_0)\sin\theta\cos\theta - P_y(x_0,y_0)\sin^2\theta + Q_x(x_0,y_0)\cos^2\theta + Q_y(x_0,y_0)\sin\theta\cos\theta \big] d\theta = 0.
$$
计算定积分：$\int_0^\pi \sin\theta\cos\theta\,d\theta = 0$，$\int_0^\pi \sin^2\theta\,d\theta = \frac{\pi}{2}$，$\int_0^\pi \cos^2\theta\,d\theta = \frac{\pi}{2}$。代入得：
$$
- P_y(x_0,y_0)\cdot\frac{\pi}{2} + Q_x(x_0,y_0)\cdot\frac{\pi}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad Q_x(x_0,y_0) = P_y(x_0,y_0).
$$
由 $(x_0,y_0)$ 的任意性，处处有 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$。
公式：Q_x = P_y
提示：极限过程需要保证连续性，$r \to 0$ 时积分与极限可交换。
步骤 4/5
目标：构造闭合路径证明 $P \equiv 0$
考虑上半圆周 $L$ 和直径线段 $D: y=y_0, x从 x_0+r 到 x_0-r$（方向从右到左），构成闭合路径。由题设 $\int_L Pdx+Qdy = 0$，且由格林公式或保守场性质，沿闭合路径积分为零，故沿 $D$ 的积分也为零：
$$
\int_{x_0+r}^{x_0-r} P(x, y_0)\,dx = 0.
$$
交换上下限得：
$$
-\int_{x_0-r}^{x_0+r} P(x, y_0)\,dx = 0 \quad \Rightarrow \quad \int_{x_0-r}^{x_0+r} P(x, y_0)\,dx = 0.
$$
这对任意 $x_0$ 和 $r>0$ 成立。由连续函数的性质，若函数在任意小区间上的积分为零，则函数恒为零。因此对任意 $y_0$，$P(x,y_0) \equiv 0$，即 $P(x,y) \equiv 0$。
公式：\int_{x_0-r}^{x_0+r} P(x, y_0)\,dx = 0 \quad \forall x_0, r \Rightarrow P \equiv 0
提示：注意直径的方向要与上半圆构成正向闭合路径，积分结果为零依赖于原条件。
步骤 5/5
目标：由 $P \equiv 0$ 和 $Q_x = P_y$ 推出 $Q_x \equiv 0$
由第三步已得 $Q_x = P_y$，而第四步证明 $P \equiv 0$，故 $P_y \equiv 0$，因此 $Q_x \equiv 0$。综上，$P(x,y) \equiv 0$ 且 $\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y) \equiv 0$。
公式：P \equiv 0 \Rightarrow P_y \equiv 0 \Rightarrow Q_x \equiv 0
提示：注意 $P_y$ 是 $P$ 对 $y$ 的偏导，$P$ 恒为零则所有偏导为零。
步骤 6/6
目标：由 P≡0 和 (2) 得到 ∂Q/∂x≡0
由 $P \equiv 0$ 知 $\frac{\partial P}{\partial y} \equiv 0$，代入 (2) 得 $\frac{\partial Q}{\partial x} \equiv 0$。因此结论成立。
公式：\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} = 0
提示：注意 $P$ 恒为零时其偏导也为零。
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