中国科学院大学 2026年数学分析第7题
📝 题目
7．求积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos (a x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入含参积分并分析对称性
定义含参变量 $a$ 的积分 $I(a) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos(ax)}{1+x^2} \, dx$，其中 $a \in \mathbb{R}$。由于被积函数关于 $x$ 是偶函数，且 $\cos(ax)$ 关于 $a$ 是偶函数，因此 $I(a)$ 是偶函数，即 $I(a) = I(|a|)$，我们只需先考虑 $a > 0$ 的情形。
公式：I(a) = \int_{0}^{\infty} \frac{\cos(ax)}{1+x^2} \, dx
提示：注意 $\cos(ax)$ 的偶性可以简化讨论，最终结果用 $|a|$ 表示。
步骤 2/5
目标：利用复变函数方法构造围道积分
考虑辅助积分 $J(a) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i a x}}{1+x^2} \, dx$，其中 $a > 0$。取上半平面半径为 $R$ 的半圆形围道，由留数定理，当 $R \to \infty$ 时，半圆上的积分趋于 $0$，因此 $J(a) = 2\pi i \cdot \operatorname{Res}_{z=i} \frac{e^{i a z}}{1+z^2}$。
公式：J(a) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i a x}}{1+x^2} \, dx
提示：注意 $e^{i a z}$ 在上半平面指数衰减，确保围道积分收敛。
步骤 3/5
目标：计算留数并得到积分值
被积函数 $\frac{e^{i a z}}{1+z^2}$ 在上半平面有一阶极点 $z = i$，其留数为：
$$\operatorname{Res}_{z=i} \frac{e^{i a z}}{1+z^2} = \lim_{z \to i} (z-i) \frac{e^{i a z}}{(z-i)(z+i)} = \frac{e^{i a \cdot i}}{2i} = \frac{e^{-a}}{2i}$$
由留数定理：$J(a) = 2\pi i \cdot \frac{e^{-a}}{2i} = \pi e^{-a}$。
公式：\operatorname{Res}_{z=i} \frac{e^{i a z}}{1+z^2} = \frac{e^{-a}}{2i}
提示：计算留数时注意分母因式分解，避免符号错误。
步骤 4/5
目标：取实部并利用偶函数得到原积分
由于 $e^{i a x} = \cos(ax) + i \sin(ax)$，且 $\sin(ax)$ 是奇函数，在对称区间上积分为 $0$，因此：
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(ax)}{1+x^2} \, dx = \pi e^{-a}$$
被积函数是偶函数，所以：
$$\int_{0}^{\infty} \frac{\cos(ax)}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(ax)}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} e^{-a}$$
公式：\int_{0}^{\infty} \frac{\cos(ax)}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} e^{-a} \quad (a > 0)
提示：注意 $\sin(ax)$ 的奇性，确保实部提取正确。
步骤 5/5
目标：推广到所有实数 a 并验证 a=0 情形
由 $I(a)$ 的偶函数性质，对任意实数 $a$ 有 $I(a) = \frac{\pi}{2} e^{-|a|}$。当 $a=0$ 时，直接计算：
$$I(0) = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx = \left[ \arctan x \right]_{0}^{\infty} = \frac{\pi}{2}$$
与公式一致。
公式：I(a) = \frac{\pi}{2} e^{-|a|}, \quad \forall a \in \mathbb{R}
提示：a=0 是简单验证，确保公式在边界处也成立。
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